图论是一门新兴学科，是组合数学中的一个重要分支。 在许多领域，诸如物理学、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理都有广泛的应用。 矩阵A可以与它所对应的伴随有向图D(A)建立对应关系，因此可以利用图论的知识来解决非负矩阵的一些问题。 本文的主要内容为： 第一章概述图论的发展，介绍一些基本知识，本原指数的国内外研究概况及有向图的应用，提出本文的所做的工作。 第二章考虑一类特殊双色有向图Dn，Dn包含两个圈，圈长分别为2m和2m+1。证明了Dn的本原性，借助逆矩阵找到了Dn的指数上下界，最后刻划了极图，并给出了指数集。 第三章考虑一类特殊的双色有向图Dn，t，p，Dn，t，p包含两个圈，圈长分别为n+1和tn+t+1，两圈的公共边长是可以变的。证明了Dn，t，p的本原性，借助逆矩阵找到了Dn，t，p的指数上下界，最后刻划了一种特殊情况下的极图。 第四章考虑了有向图的应用，通过两个模型分析具体问题，一个是最大流模型，一个是TSP模型，并且用LINGO软件进行了求解。