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对于数学，物理学，化学，生物学，医学，经济学，控制论等科学领域中出现的各种非线性问题，已日益引起人们的广泛重视.目前，非线性泛函分析已成为现代分析数学中的一个重要分支学科，它为研究各种非线性问题提供了有效的理论工具，它主要包括半序方法，拓扑度方法，变分方法和解析方法等内容，它在处理应用学科中提出来的各种非线性方程和偏微分方程问题中发挥着不可替代的作用.有关四阶微分方程边值问题解的存在性，正解的存在性和唯一性，这几年得到了广泛研究.但这些文献大多仅限于一般空间中讨论，很少有文献在Banach空间中讨论四阶微分方程解的存在性问题.
本文主要在Banach空间中讨论四阶微分方程解的存在性.
本文共分二章.
第一章，主要讨论Banach空间中一类四阶常微分方程两点边值问题的解的存在性.
考察Banach空间中四阶常微分方程两点边值问题{u(4)(t)=f(t，u(t)，u″(t))，t∈I,u(0)=u(1)=u"(0)=u"(1)=θ.(1.1)本章利用Darbo不动点定理得到了边值问题(1.1)解.我们首先给出几个引理:
引理1设f∈C[I，E]，则两点边值问题{-x″(t)=f(i)，t∈I，x(0)=x(1)=θ.(1.2)在C2[I，E]中有唯一解x(t)=∫10-G(t，s)f(s)ds，其中-G(t，s)={s(1-t)，0≤s≤t≤1，t(1-s)，0≤t≤s≤1，
引理2设f∈C[I×E×E,E]，定义算子A:(Ax)(t)=∫10G(t,s)f(s，x(s)，x″(s))ds(1.5)其中G(t，s)=∫10-G(t，r)-G(r,s)ds={t(1-s)(2s-s2-t2)/6，0≤t≤s≤1,s(1-t)(2t-t2-s2)/6，0≤s≤t≤1，则x∈C4[I，E]是(1.1)的解当且仅当x∈C2[I，E]是A的不动点
引理3设f∈C[I×E×E,E]，假定对任何r＞0，f在I×Tr×Tr一致连续且有界，并且存在Cr≥0，C*r≥0，0≤Cr+C*r＜2使得α(f(t，D1，D2))≤Crα(D1)+G*rα(D2)，(A)t∈I，D1，D2()Tr(1.15)则对任何r＞0，A：Br→C2[I，E]是一个严格集压缩算子.即存在0≤Kr＜1，使对任何S()Br，有α2(A(S))≤Krα2(S)
我们要用以下条件:
(H1)设f∈C[I×E×E]，假定对任何r＞0，f在I×Tr×Tr上一致连续且有界，并且存在Cr≥0，C*r≥0，0≤Cr+C*r＜2使得:α(f(t，D1，D2))≤Crα(D1)+C*rα(D2)，(A)t∈I，D1，D2()Tr(H2)-limr→∞M(r)/r＜4，这里M(r)=sup{‖f(t，u，v)‖｜t∈I，u∈Tr，v∈Tr｝
本节所得主要结论为:
定理1:若条件(H1)，(H2)满足，则边值问题(1.1)至少有一个解x∈C4[I，E].作为应用我们给出如下例子:例子:考察无穷常微分方程组:{u(4)n=3t/n(1-un+u1/3n+1-(u″2n)2/3)，t∈I=[0,1]un(0)=un(1)=u″n(0)=u″n(1)=θ.(1.20)我们证该无穷常微分方程组在Tr中至少有一解.
第二章，作者在Banach空间中通过上下解方法，并利用Schauder不动点定理研究了四阶常微分方程两点边值问题(2.1)即(1.1)最大解和最小解的存在性问题.首先给出以下几个引理:
引理2.1(极大值原理)(参见文[6]定理3.1)假设Ω是Rn中有界开集，设u∈C2(Ω)∩C(-Ω)，且在Ω中△u≥0(≤0)，则max-u(x)=maxu(x)(minu(x)=minu(x)).
引理2.2(比较定理)若q∈C4[I，E]，满足{g(4)(t)≥θ，t∈I，q(0)≥θ，g(1)≥θ，q″(0)≤θ，q″(1)≤θ，(2.2)则q(t)≥θ,(A)t∈I.
本章用到下列条件:
(H1)存在v0，w0∈C4[I，E]，使v0(t)≤w0(t)，v″0(t)≥w″0(t)，(A)t∈I，并且v0，w0分别是边值问题(2.1)的下解和上解，即:{v(4)0(t)≤f(t，v0(t)，v″0(t))，(A)t∈I，v0(0)≤θ，v0(1)≤θ，v″0(0)≥θ，v″0(1)≥θ，{w(4)0(t)≥f(t，w0(t)，w″0(t))，(A)t∈I，w0(0)≥θ，w0(1)≥θ，w″0(0)≤θ，w″0(1)≤θ.(H2)f(t，u，v)关于u，v的单调性条件为:
1)(A)v∈[w″0(t)，v″0(t)]，u1，u2∈v0(t)，w0(t)]，当u1≤u2时有:f(t，u1，v)≤f(t，u2，v)，(A)t∈I.
2)(A)u∈[v0(t)，w0(t)]，v1,v2∈[w″0(t)，v″0(t)]，当v1≤v2时有:f(t，u，v1)≥f(t，u，v2)，(A)t∈I.
令[v0，w0]={u∈C2[I，E]｜v0(t)≤u(t)≤w0(t)，v″0(t)≥u"(t)≥w″0(t)，(A)t∈I}.
本节所得主要结论为:
定理1设E为实Banach空间，P是E中的正则锥(参见文[1])，又设(H1)，(H2)满足，则边值问题(1)在[v0，w0]∩C4[I，E]中具有最小解与最大解-v，-w(即若u∈[v0，w0]∩C4[I，E]是(1)的任一解，则必有-v(t)≤u(t)≤-w(t)，-v″(t)≥u″(t)≥-w″(t)，(A)t∈I)并且由下式确定的迭代序列｛vn(t)}，{wn(t)｝在I上分别一致收敛于-v(t)，-w(t)：vn(t)=∫10G(t，s)f(s，vn-1(s)，v″n-1(s))ds，(A)t∈I，(n=1，2，3，...)，(2.4)wn(t)=∫-0G(t，s)f(s，wn-1(s)，w″n-1(s))ds，(A)t∈I，(n=1，2，3，...)，(2.5)作为应用我们给出如下例子:
考察边值问题
{u(4)(t)=-u″(t)+(u(t)+1)2+sinπt-1，t∈i=[0，1]，u(0)=u(1)=u″(0)=u″(1)=θ.(2.25)我们证明:边值问题(2.25)在范围0≤u(t)≤sinπt，-π2sinπt≤u″(t)≤0(t∈I=[0，1])中具有最小的C4解与最大的C4解.