差分方程在现代医学、生物数学、生态学、物理学、化学等方面得到了广泛应用，人们对它的研究也与日俱增。目前，很多学者利用各种方法和技巧对微分方程边值问题进行了探索，但是相对差分方程边值问题的研究却很少。近年来，无穷区间上的微分方程边值问题的研究已经取得了较好的成果，但无穷区间上的差分方程边值问题的结果尚少，理论不完善，还需要更多的研究和讨论。　　量子差分方程起源于二十世纪初，在应用物理领域中，如宇宙弦和黑洞，共形量子力学，核和高能物理中扮演着重要的角色。然而，非线性量子差分方程边值问题的理论尚处于初始阶段，这一理论的许多方面需要探索。尤其是脉冲量子差分方程，基于其在控制理论、种群动态和医学等领域的应用已经得到越来越多学者的关注，其理论亟待于拓展。　　本文主要研究了无穷区间上二阶差分方程边值问题解的存在性以及一类脉冲量子差分方程的可解性，全文共分为四部分，第一部分，主要介绍了微分方程，差分方程和脉冲qk-差分方程边值问题的研究背景和发展历程，以及差分方程边值问题在国内外的一些研究现状。第二部分第三部分是通过构造无穷区间上二阶差分方程边值问题相对应的Green函数，并给出相对应的Green函数的性质，再利用Leray-Schauder不动点定理，获得了无穷区间上二阶三点差分方程边值问题解的存在性定理。第四部分，通过构造二阶脉冲qk-差分方程相应的积分算子，再利用巴拿赫压缩映像原理和Schaefers不动点定理，获得了解的存在性和唯一性定理。