度量图上的微分算子是研究介观物理与化学结构问题的抽象数学模型,在化学、粒子物理及纳米技术等学科中应用十分广泛.经过近几十年的发展,度量图上微分算子理论已经成为微分方程理论以及微分算子谱理论的重要组成部分.　　本文主要研究无穷度量图上Sturm-Liouville算子的自伴性以及无穷正则度量树上Sturm-Liouville算子的谱性质,全文分为六个部分,内容如下:　　第一章为绪论,介绍了度量图上的微分算子的研究背景、研究现状以及本文的主要工作.　　第二章介绍了本文所涉及的基本概念以及相关定理.　　第三章主要研究了三类局部顶点条件:系数矩阵秩为δ(v)的顶点条件、自伴顶点条件和J-自伴顶点条件.给出了这三类顶点条件的性质并且讨论了它们分别确定的定义域所构成空间的几何结构.当微分形式对称时,给出了紧致度量图上Sturm-Liouville算子的自伴条件和非紧致度量图上Sturm-Liouville算子的Glazman-Povzner-Wienholtz型自伴条件.当微分形式J-对称时,详细描述了度量图上局部Sturm-Liouville算子的J-伴随算子及J-自伴扩张.　　第四章主要研究了无穷正则度量树上带有δ-型条件的Schro¨dinger算子的自伴性及其谱性质.首先,给出了该算子的本质自伴判定条件,且证明了该算子酉等价于一列带有转移条件的辅助算子的直和.其次,构造了带有转移条件的辅助算子所对应的二次型,给出了辅助算子的Molchanov谱离散判定准则.基于树上Schro¨dinger算子与其辅助算子谱之间的关系,得到了树上带有δ-型条件的Schro¨dinger算子谱纯离散的充分必要条件.最后,根据二次型扰动的紧性,得到了树上带有δ-型条件的Schro¨dinger算子本质谱稳定的判定条件和负谱下半有界且离散的判定条件.　　第五章主要考虑了无穷正则度量树上带有δ謰-型条件的Schro¨dinger算子.因为该算子的定义域包含于直和空间謈謱i=1W1,2(ei),并不包含于树上Sobolev空间W1,2(Γ),所以构造了一列带有转移条件的辅助算子及其所对应的二次型,并证明了一系列嵌入不等式,进而通过嵌入算子的紧性研究了树上Schro¨dinger算子谱的纯离散性.所得结果将Molchanov离散谱判定准则推广至具有转移条件的Schro¨dinger算子.基于树上带有δ謰-型条件的Schro¨dinger算子与辅助算子谱之间的关系得到了树上带有δ謰-型条件的Schro¨dinger算子谱纯离散的充分必要条件和本质谱稳定的判定条件.　　第六章讨论了边长下确界为0的无穷度量树上Sturm-Liouville算子的自伴性及其谱性质.本章证明了树上Sturm-Liouville算子酉等价于一列带有转移条件的辅助算子的直和,借助于这一列辅助算子,证明了树上算子的自伴性.然后利用无穷区间覆盖定理,证明了加权函数空间上的不等式,得到了带有转移条件的Sturm-Liouville算子谱离散的充分必要条件,进而得到了无穷度量树上Sturm-Liouville算子的Molchanov离散准则.