常微分算子理论的研究缘起于Fourier对热传导问题的数学处理中.19世纪30年代,Sturm和Liouville在研究弦振动方程的解时对Fourier的方法进行了一般性的讨论,得到的结果成为解决一大类数学物理方程的基础,推动了微分方程的发展,之后他们作出了许多这方面的研究,发表了一系列相关文章,经过发展最终逐步建立了以Sturm-Liouville(简称S-L)算子为代表的常微分算子理论.1910年Weyl又将Sturm-Liouville问题的有限区间推广到了无限区间,开创了奇异Sturm-Liouville问题的研究.20世纪初,量子力学这一重要理论建立,量子力学是描述微观物质的理论,与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱.由于奇异算子理论对量子力学最初的发展发挥了重要作用,越来越多的学者开始微分算子理论的研究.关于微分算子理论研究的主要内容,集中在谱分析、亏指数、逆谱问题等方面,其中谱分析又称特征值分析,它的主要工作是研究特征值的相关性质以及分布等问题.20世纪50年代,Titchmarch,Everitt等数学家开始研究特征值性质、算子的谱、特征函数展开式等问题,取得了重要研究成果,在60年代,由于现代物理学、现代科学的发展需要,研究者们不再局限于经典微分方程的研究,开始了非局部微分方程定解问题的研究,非局部微分方程的来源广泛,例如反应扩散理论、量子力学点干涉问题、电压驱动的电力系统等,解决这些非局部相关问题也是很有必要的.1987年曹之江利用函数论方法得到了 S-L问题特征值关于n的渐近估计式[1],1996年Kong Q,Zettl A证明了方程系数、权函数及边界条件都和特征值有关系[31].自此许多学者开始利用不同的研究方法对特征值作渐近估计,得到的结果也越来越精细,而对于非局部问题的谱,许多研究者也作了大量该问题在特殊情况下的研究,但非局部微分方程谱理论的研究尚在起步阶段,所以对于特征值的渐近分析结果不是很多.本文主要考虑正则非局部Sturm-Liouville问题的特征值渐近分布问题,首先,我们得到Cauchy问题解的解析形式.进一步,利用迭代法和同阶无穷小分析得到Cauchy问题解的渐近公式,之后通过Rouche定理得到q≡0时特征值的渐近分布公式.最后,通过Frechet导数得到特征值的渐近分布公式.主要研究工作安排如下:第一章,绪论.主要介绍本文研究问题的国内外的研究背景,非局部特征值问题的来源以及目前国内外关于非局部问题的研究现状.第二章,预备知识.给出正则Sturm-Liouville问题的相关理论知识以及本文需要用到的相关结论.第三章,主要研究正则非局部问题特征值的渐近估计.首先,通过常数变异公式求得问题的Cauchy问题解的解析形式、通过放缩法求得此时Cauchy问题解的渐近式.其次,利用迭代法以及无穷小分析得到Cauchy问题解更精细的渐近公式,然后,通过Rouche定理以及关于λ何时为问题特征值的引理求得势函数q三0的特征值渐近分布公式,最后通过Frechet导数定义证明了特征值和势函数关系的定理,加上上一部分势函数q三0的特征值结论等得出一类正则非局部Sturm-Liouville问题特征值的渐近分布,然后我们通过对比经典的正则Sturm-Liouville问题渐近公式分析得出本文的结论,得到本文研究的结论之后给出了本文研究的展望,也就是后续的研究工作.