【摘 要】
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指数和的均值问题,一直以来都是数论研究的重要组成部分.其中关于Gauss和、Kloosterman和等和式的研究更是有着深远的历史,它们之间也存在着不可分割的关系.许多学者对相关问题进行了深入地讨论,并取得了实质性的进展.基于对上述问题的兴趣,本文运用三角和恒等式及特征和的相关性质,研究了一些重要和式的均值问题,其中包括Gauss和、二项指数和、Kloosterma
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指数和的均值问题,一直以来都是数论研究的重要组成部分.其中关于Gauss和、Kloosterman和等和式的研究更是有着深远的历史,它们之间也存在着不可分割的关系.许多学者对相关问题进行了深入地讨论,并取得了实质性的进展.基于对上述问题的兴趣,本文运用三角和恒等式及特征和的相关性质,研究了一些重要和式的均值问题,其中包括Gauss和、二项指数和、Kloosterman和以及与之相关的各种推广和式.在此基础上,还研究了一类同余方程解的个数问题.此外,对一些著名多项式的性质和应用也进行了较为深入的探讨.具体说来,本文的主要成果如下:1.研究了与Gauss和有关的均值问题.首先,对广义二次Gauss和进行推广,引入一类新的广义二次Gauss和,给出了在特定情况下它的四次均值的计算公式;同时还研究了一类四次Gauss和与二项指数和的混合均值,分别给出了当模数满足不同同余条件时,其混合均值的递推公式.2.完整解决了广义Kloosterman和四次幂均值的计算问题.在前人结果的基础上,根据特征的正交性,结合原特征及简化剩余系的性质,给出了对于合数模的非原特征,广义Kloosterman和四次幂均值的一个精确的计算公式.3.解决了一类同余方程解的个数计算问题.利用三角和恒等式及Gauss和的性质,研究了在模为奇素数的情况下,一类同余方程解的个数问题,给出了该同余方程解的个数的递推公式.4.研究了一些著名多项式的性质及其应用.首先,利用Chebyshev多项式及其性质解决了关于sin和cos的幂和问题,给出了十分规整的计算公式;其次,还引入一个关于Legendre多项式的非线性递推序列,通过研究得到了项数为奇数时计算Legendre多项式卷积和的通项公式;此外,还利用Bernoulli多项式和Euler多项式及其性质,首次建立了这两个多项式之间的关系,作为推论得到了关于Bernoulli多项式的一些新的同余式.
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