信号与图像处理的应用中,正交变换的本质是把待处理的信号(或图像)用一组正交基表示,然后在“频率”域中对变换系数进行分析与处理,由于正交变换去相关能力强,变换系数的信息冗余少,因此,正交变换被广泛地应用于信号与图像处理的各个领域。如何选择一组合适的正交基是正交变换研究的基本问题,U系统(也称二进制U系统,BU系统)和V系统(也称二制V系统,BV系统)是L2([0,1])上的一类完备的分段多项式正交系,用BU系统与BV系统表示一类分段连续的信号时,不会出现Fourier三角基的Gibbs现象,且收敛速度优于Walsh函数系,鉴于U系统与V系统的这种优良的数据逼近性能,本文系统地研究了分段多项式正交函数系的构造、性质、计算及其应用。　　 首先,我们研究了BU系统与BV系统之间的关系,证明了BU系统的基可以表示为Walsh矩阵(或倒Walsh矩阵)与BV系统的基的乘积,紧接着,证明了二进制U系统的构造算法可以构造一类分段多项式多小波(BVLets),而BV系统的本质是L2([0,1]上的分段多项式多小波,从而得到了用多小波级联算法计算BU正交变换与BV正交变换的计算方案,反过来,通过直接计算BV变换可以得到BVLets的多小波分解,这时并不需要对输入数据预处理。另外,我们也给出了BVLets多小波分解的预处理方案,且推导出了计算BU变换的计算公式和基值的计算公式,为计算机实现BU变换提供了明确的表达式。　　 其次,本文继续拓展了BU系统与BV系统,构造出一类新的四进制分段多项式正交函数系(简称为QU系统),并给出一组QU系统的函数生成元的显式表达式。然后研究了它的正交性、收敛性,证明QU系统是L2([0,1])上的一类完备的正交函数系,并推导出QU系统的基值的计算公式与QU变换的计算公式。另外一方面,QU系统的构造算法可以构造出一类L2(R)上的四进制分段多项式多小波(简称QVLets),若限制在[0,1]区间上,则可以得到一类L2([0,1])上的完备的分段多项式正交函数系(简称为QV系统),并建立了QU系统与QV系统之间显式关系,从而可以通过QvLets的级联算法计算QU变换。紧接着,我们继续讨论了n(n是偶数)进制U系统的构造,由于n进制U系统的构造算法所构造的函数生成元是n进制分段多项式多小波,反过来,我们用n进制多小波的双尺度方程导出函数生成元的求解方程。因此,n进制系统的构造算法可以构造一类n进制的V系统与刀进制的分段多项式多小波,但不一定能构造出n进制正交U系统,进一步地,我们得到了构造疗进制正交U系统的充分必要条件。　　 第三,本文尝试把分段多项式正交系应用于图像处理与图像分析中,研究BU变换的JPEG编码算法,并取得了与DCT相当的图像编码结果,通过实验证实3次BU变换的去相关性能、编码增益与DCT相同。然后,研究BU变换的可逆分解,结合SPIHT图像编码算法对图像进行无损压缩,其压缩效果与JPEG-LS基本一致。另外,为了避免编码过程中的量化处理,提出了基于全相位Bu变换的图像编码方法,在高压缩比的情况下,重构图像的效果明显地优于JPEG。　　 最后,研究用分段多项式正交基表示几何图形与图像的轮廓线,并得到了一类新的分段多项式描述子,它是一类基于尺度、平移、旋转变换的不变量。然后,结合BP神经网络,用QV描述子对图像进行分类与识别,并对MPEG7_CE-1中的图像进行仿真实验,结果表明在相同的实验条件下,3次QV描述子的识别率要优于Fourier描述子。另一方面,本文用分段多项式正交基作为过程神经元构造一类分段多项式正交基神经网络模型,在函数逼近方面,BV神经网络的收敛速度明显地优于传统的BP神经网络、小波神经网络、Legendre正交基网络,特别是逼近一类间断函数时,其优势更加明显,而QV神经网络的逼近效率优于BV神经网络,它可以克服BV神经网络逼近连续函数时的“奇异”现象。　　 综上所述,本文重点研究了二进制分段多项式正交函数系的计算问题,研究了BU系统与BV系统之间的关系,简化了它们的计算。同时,构造了一类新的QU系统与QV系统,用QV系统或QU系统逼近几何图形时,不会出现Gibbs现象,也不会BV系统的“奇异”现象。在应用方面,重点研究了分段多项式正交函数系在图像处理与分析中的应用,获得了一类新形状描述子。另外,把分段多项式正交基应用到神经网络中,并在函数逼近方面取得了良好的效果。