本文研究间断有限元(discontinuous Galerkin,简称DG)方法求解偏微分方程的数值分析,及其在可压缩磁流体动力学(Magnetohydrodynamic,简称MHD)中的数值模拟,以及利用缩减基方法(reduced basis method,简称RBM)加快对随机偏微分方程的数值求解。论文主要分成两个部分。第一部分包括DG方法的数值分析和MHD数值模拟的研究。数值分析上,我们主要利用一种平移技术构造了一种全新的特殊投影算子,并分析了投影算子的有界性,证明了对于线性的双曲守恒律方程,交错网格上的中心间断有限元(central DG,简称CDG)方法的半离散格式的最优误差估计。在均匀交错的网格下,对于一维情形,基于分片pk元(k次多项式有限元空间),我们证明了 k+1阶L2范数的误差估计。对于多维情形,证明了在均匀的笛卡尔交错网格下,有限元空间采用分片Qk元(每个分量k次多项式的张量积),L2范数同样有最优收敛阶。利用这种投影算子,帮助我们处理CDG的空间离散部分获得最优收敛阶的证明。数值算例同样验证了我们理论结果的最优性。我们继续利用这种平移技术证明了在二维的均匀矩形网格下,基于分片pk元的经典半离散DG格式对于标量双曲方程有最优k+1阶收敛。我们分别对于三种情形给出证明,分别是线性常系数,线性变系数和非线性情形。除了最优误差估计的研究,我们对一种具有最优阶的能量守恒DG方法,研究其超收敛性质。利用构造修正函数的技巧证明了半离散的数值解在节点的数值流通量和单元平均值具有2k+1阶的超收敛,以及数值解k+2阶地超收敛于真解的一种特殊投影。我们还发现DG的近似解的导数值和函数值在某些特殊点处分别以k+1和k+2阶的精度超收敛。此外,数值计算上,我们研究了DG方法对可压缩磁流体动力学的数值模拟。我们发展了两种数值格式,分别是笛卡尔坐标系下的熵稳定的节点DG格式和柱坐标下的局部磁场散度为零的DG格式。在笛卡尔坐标系下,针对结构网格,我们考虑可对称化Godunov形式的MHD方程,分析了半离散格式的熵稳定性质。通过设计合适的积分公式,熵守恒的数值流通量以及单元边界的熵稳定数值流通量,使得数值格式满足熵稳定。对于MHD方程另一个重要的物理性质,磁场散度为零,我们针对柱坐标(r,φ,z)下的MHD方程设计了 3维的满足局部磁场散度为零的谱-DG方法。由于特殊的物理问题的性质,我们对于φ方向采用傅里叶谱方法进行数值近似,使用DG方法离散(r,z)空间。我们构造了磁场的局部散度为零的函数集合保证每个单元内部磁场的散度为零。数值算例验证了我们算法的有效性。第二部分是关于缩减基方法对于随机微分方程的应用。我们针对线性(常微和偏微)的任意类型噪声(不一定是Gaussian噪声)驱动的随机微分方程提出,分析并实现了一种新的缩减基方法。我们的算法主要有四个特点。首先,我们提出了一种新的时空处理方法对于时间依赖的ODE和PDE数值格式。第二个是一种保证精度的高效空间分量压缩技术用于RBM的基函数。第三个是对于非参数化问题提出一种非常规的参数化方法。最后是RBM是没有明显的离线过程的,但是仍然有高效的在线过程处理得到的参数化问题。数值结果表明我们的算法的有效性和鲁棒性。