Hofstadter模型讨论的是把布洛赫电子放在位于有理数磁场下的周期性晶格上，电子既处在磁周期下nφ=B/φ0，又处在品格势场的周期下n0=1/A，当这两种周期为公度，即nφ/n0等于有理数φ=p/q时，布洛赫能带将劈裂成q条子能带。磁场为有理数时的结果可以连续地推广至任意无理数的情况，导致其能谱中能够观察到非常美丽的分形图案。目前，具有Hofstadter模型性质的二维超晶格已经在多种实验系统中获得实现。　　本论文涉及我在博士期间针对Hofstadter模型设计及改进的三项理论工作。其中有两项是关于在Hofstadter能带上引入相互作用导致的分数量子霍尔态，一项是关于将Hofstadter模型推广到三维导致的外尔半金属相。这些工作是紧密联系在一起的，分别在第二章、第三章以及第四章中进行讨论。　　分数量子霍尔效应是二十世纪最伟大的科学发现之一，在过去三十年中持续不断地吸引了广泛的研究。晶格模型中的分数量子霍尔态有三个重要的性质:能量基态简并，存在非零能隙，以及带分数电荷的准粒子。我们通过对Hofstadter模型引入可调的次近邻粒子跃迁后，使其具备了能够产生分数量子霍尔态的条件。并利用平带近似和严格对角化技术，在不同陈数的能带上分别得出了填充因子为v=1/3，1/5的费米子分数拓扑态，以及填充因子为v=1/2，1/3的玻色子分数拓扑态。　　对费米子系统来说，填充因子为v=1/m的这一类分数量子霍尔态（m为奇数），被称作Laughlin态。除此之外还存在一类表现更为诡异的态，即非阿贝尔的分数量子霍尔态。这类分数态一般有填充因子v=k/(kM+2)。我们通过在三角形Hofstadter模型上引入偶极—偶极相互作用和近邻吸引相互作用势，得到了k=2的v=1/2 Moore-Read态，和k=3的v=3/5 Read-Rezayi态。非阿贝尔分数量子态有希望实现可容错的量子门操作，可以作为实现拓扑量子计算的平台，有望为人类带来一场新的技术革命。　　此外，还有一类新型拓扑态也可以用来实现高容错的拓扑量子计算，它就是最近才在实验上发现的外尔半金属。外尔半金属有着十分独特的能带结构，其费米面处在能带交叉点处，且低能激发的电子可由外尔方程来描述。能带交叉点处的准粒子有着与外尔费米子同样的物理性质。我们认为推广到三维的Hofstadter模型也是可以实现外尔半金属态的平台。通过引入交错的z方向跃迁几率，我们给出了在不同φ上发现外尔费米子的证据。而且，在它的能量谱上我们发现了非常美丽的蝴蝶图形，这又是一例物理之美的良好诠释。