本文在保结构思想指导下研究有限元方法。A.Bossavit和R.Hiptmair在电磁问题以及D.N.Arnold在弹性问题的研究是这个方面开创性的工作。在有限元离散化中，保持连续问题的恰当链复形结构是其主要思想。在单连通区域，已成功地构造了许多保结构的有限元，且这种元具有令人信服的理论分析。　　 在第三章和第四章，分析传统有限元方法、混合有限元方法、有限体积法和基于微分形式的有限元方法，讨论了各方法之间的关系，得到了它们互相等价的条件。介绍了基于微分形式的有限元方法及A.Bossavit给出的此方法的误差估计。Bossavit的误差估计的方法不同于经典的误差估计方法，使得产生误差的原因易于明了。　　 第五章首先介绍了以D.N.Arnold和R.Hiptmair的方法构造的保结构有限元.保持连续链复形和离散链复形间的交换图表性质是这方法的关键之处。这个性质保证了保结构有限元(一种混合有限元)的稳定性。然而，Arnold和Hiptmair只考虑了交换图表，他们的方法不适用于非单连通区域问题。考虑整体剖分区域上的链复形，发展了一种新的构造保结构有限元的方法。保结构有限元不仅保持了整个剖分区域上的交换图表，而且保持了上同调空间这个关键的拓扑量。应用这种新的方法，构造了Poisson方程Dirichlet边值问题的新的有限元。　　 第六章首先介绍Arnold的关于弹性复形和de Rham复形关系的工作，然后证明了向量值系数的微分形式的Hodge分解定理。利用Hodge分解定理和上述Arnold的工作，构造了离散弹性复形的离散上同调空间。这个离散上同调空间和相应的Arnold构造的弹性有限元组合便构成新的弹性有限元。