声波反散射问题在数学物理学中有着十分重要的地位,且其研究成果广泛应用于多个领域,例如雷达、声纳、医学成像、无损检测、地质勘探等。在现有的反散射问题中更多的是考虑外部反散射问题,本文则考虑内部声波反散射问题,其点源和测量数据均在散射体的内部。而内部声波反散射问题有两大难点,一是不适定性,二是非线性,因此内部反散射问题的研究比较困难,本文将用分裂法来求解内部反散射问题,主要利用分裂法研究两个问题,一个是在Heumman边界条件下的不可穿透腔体的反散射问题,另一个是具有传输边界条件的可穿透腔体的反散射问题。本文将分为如下五章内容:第一章主要概述了反散射问题的背景和研究意义,以及该领域的研究现状,介绍了现有的几种比较成熟的算法,并简要分析这几种算法的优缺点,最后给出本文的主要工作。第二章主要介绍了本文涉及的基本知识,包括Helmholtz方程的相关理论知识,位势理论,不适定问题的概念和解决该问题的正则化方法等。第三章利用分裂法研究在二维空间中具有Heumann边界条件的不可穿透腔体的内部声波反散射问题,首先,建立声波反散射问题的数学模型;然后证明内部点源测量数据能唯一确定Heumann边界条件的内部不可穿腔体的位置和形状;再根据分裂法的思想将反问题的非线性不适定问题分成两步来解决,第一步解决不适定问题,第二步解决非线性问题;最后用几个数值列子加以说明该方法的可行性和有效性。同时给出了通过多个点源利用分裂法重构腔体的过程。第四章则将分离法推广到具有传输边界条件的可穿透腔体的情况,同样地,利用单一点源进行反演,首先,建立可穿透腔体的声波反散射问题的数学模型并证明反散射问题的存在性和唯一性;然后根据分裂法的思想将声波反散射问题分为两步解决,进而重构腔体的边界,并给出了多个点源求解的过程。第五章总结了本文的主要内容,并给出今后的一些研究方向。