图论是一门古老却又十分活跃的学科,也是一门很有实用价值的学科.作为组合数学和离散数学的重要分支,它是研究自然科学,工程技术等的重要数学工具,应用极为广泛.在经济发展的时代,其与计算机科学和网络理论等方面的联系也越来越密切.图论中图的边连通度问题就源于大规模网络的设计及可靠性分析,在实际问题中有着极其广泛的应用.目前,边连通度己成为图论中的热点研究领域.　　对于多处理机互联网络的分析,通常会涉及某些类型的图论模型,利用图的点和边来代替网络的节点和连线,以此构成相互连通的网络的拓扑结构.一个重要的数学模型就是将其抽象化为无向图G=(VE),其中G的顶点集代表所有的处理机,而边集代表系统中处理机之间的通信联系.因此网络拓扑的性能就可以通过图的性质来刻画了.在研究此类模型时,通常假设其节点不失效,而节点问的连线即边可相互独立地以等概率p∈(o,1)失效.则G连通的概率R(G,p)为（公式略）.　　对网络的一个重要指标是希望其可靠性要尽可能好,而用图论的术语来讲,就是希望图的边连通度尽可能大.因此边连通度成为衡量图的连通性质的一个经典参数,也就成为反映网络可靠性的重要参数.而要更精确地刻画图的连通性,经典边连通度仍存在一些不足.首先,边连通度相同的图可靠性可能不同;其次,不能区分删掉λ条割断边后所得的图的不同类型;最后,默认图的任何子集中所有元素可能潜在地同时失效.为了更好地刻画图的连通情况,Harary[12]于1983年提出了条件边连通度的概念,为该领域的研究开辟了新的道路.从而,网络的可靠性与容错性的分析快速发展成为图论研究中的热门课题.为此,许多新的参数相继被提出来,其中包括极大边连通性、超级边连通性、限制边连通度和局部边连通度.目前,对于这一领域已有了广泛而深入的研究.本人将在前人工作的基础上,继续研究局部边连通和局部点连通的相关性质.　　本文讨论有限简单的图.在第一章中,主要介绍本文的研究背景,文中涉及的基本概念及术语符号及已有的一些结论.　　在第二章中，主要讨论了K2,p-free图的极大局部边连通性的充分条件,本文得到如下结果（公式略）.　　在第三章中，主要讨论了K2,p-free图的极大局部点连通性的充分性判定条件.　　在第四章中，主要利用无钻子图的极大局部边连通性的己有结论，再利用团数来限制从而得出依赖于团数的无钻导出图是极大局部边连通的充分性的判定条件，从而得到了下面的定理（公式略）.　　在第五章中，类似于第四章，仍然是根据无钻子图的极大连通性的己有结论，再利用团数来限制从而产生依赖于团数的无钻导出子图不是极大连通的充分性判定条件，从而得出以下定理结论（公式略）.