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Morita理论刻划了模范畴之间的等价关系．模范畴的子范畴之间的等价和对偶理论起源于Morita理论，并被广泛研究．在20世纪80年代，出现了tilting模的概念并且tilting理论可看作是Morita等价理论的推广．在[20]中，Fuller给出了quasi-progenerator的概念并且给出了Morita理论的另一种推广．Menni和Orsatti推广了tilting模和quasi-progenerator的概念，给出了*-模的概念．在[29]中，Colpi研究了经典tilting模和*-模之间的关系．即，P<,R>是经典tilting模当且仅当P<,R>是忠实的finendo*-模当且仅当P<,R>是*-模且E(R)∈Gen(P<,R>)，其中E(R)是R的内射包．
Miyashita[62]给出了任意环上投射维数≤n的有限生成tilting模的定义，Hügel和Coelho[24]讨论了任意环上投射维数≤n的无限生成tilting模．最近，魏加群和其他作者[52]将*-模推广到*-模并讨论了*-模和投射维数≤ n的有限生成tilting模之间的关系．另外，魏[55]将*-模理论中的子范畴Gen(P)替换为子范畴Stat(P)，给出了木*-模的定义，其中s表示static，关于*-模的一些结果成功地推广到了的*-模．
另一方面， quasi-progenerator的对偶概念quasi-duality模和tilting模的对偶概念cotilting模成为最近模理论研究的中心论题. Colby和Fuller将这些模推广到了costar模．在某种意义下，costar模可看作是*-模的对偶，参看[39]．
范畴理论和同调方法与tilting模的研究密切相关，并且tilting理论已经推广到抽象的范畴，例如导出范畴，参看[8]．许多关于tilting理论的结果需要有限条件，Colpi[31]考虑了Grothendieck范畴中不带有限条件的1-tilting对象．
在[27]中，Takeuchi给出了刻划域上余代数上的余模范畴等价的定理，该定理是关于模范畴等价的Morita．理论的对偶．汪明义在域上的余代数上给出了classicaltilting余模的定义，并证明了在域上的右半完备右conoetherian余代数上的tilting理论(参看[59])．近年来，许多作者开始研究环上的余代数． Al-Takhman[21]将Morita-Takeuchi理论推广到了环上的余代数．本文中，我们得到了下列结果．
第一章，我们给出引言和预备知识．
第二章，我们给出co-*-模的定义并讨论了1-cotilting模和CO-*-模之间的关系．Colpi[29]用*-模刻划了1-tilting模，在第二章，我们用CO-*-模刻划了1-cotilting模．而且，我们还将讨论左A-模和右R-模范畴的小维数之间的关系，其中A是有限型cotilting双模的自同态环．得到下列主要结果；
定理2．2．2设PR∈Mod-R．下列条件是等价的：
(1)PR是1-cotilting模；
(2)p<,r>是co-*-模且Proj<,R> Cogen(PR)；
(3)P<,R>是co-*-模且R ∈Cogen(P<,R>)；
(4)P<,R>是忠实CO-*-模；
(5)P<,R>是忠实cofinendo co-*-模且是Cogen(P<,R>)-内射的．
定理2．4．7设<,A>P<,R>是有限型cotilting双模，其中A=End<,R>(P)．
(1)若fin.dimR=d<∞，则fin.dimA≤d+1．
(2)若fin.dimA=d<∞，则fin．dimR≤d+1．
(3)若fin.dimR<∞或fin.dimA<∞，则Ifin.dimR-fin.dimAI<1．
第三章，我们给出了CO-*-模的定义并讨论了n-cotilting模和CO-*-模的关系，用CO-*模刻划了n-cotilting模．得到下列主要结果：
定理3．2．4设P<,R> ∈Mod-R且Cogen<,n>(P)取子模闭．记ProjR为所有投射R-模组成的集合．下列条件等价．
(1)P是n-cotilting模；
(2)P<,R>是CO-*-模且Proj<,R> Cogen<,n>(P<,R>) <⊥>P<,R>．
第四章，我们给出了artin代数条件下r-costar模的定义． Colby和Fuller[39]给出了costar模的定义，且costar模诱导出模范畴之间的对偶． r-costar模可看作将costar模理论中的子范畴cogen(Ph)替换为子范畴Ref(PA)得到．并且我们给出了r-costar模的刻划并讨论了带有特殊性质的r-costar模．得到下列主要结果：
定理4．4．2设P ∈rood-A，下列条件等价．
(1)P是r-eostar模，Ref(P<,A>)是resolving子范畴．
(2)Ref(P<,A>)=KerExt(-，P)．
第五章，我们给出Grothendieck范畴中n-tilting对象和*-对象的定义，并在Grothendieck范畴中得到了关于不带有限条件的n-tilting对象的一些结果，推广了Colpi[31]中1-tilting对象和魏[52]中n-tilting模的结果．得到下列主要结果：
定理5．2．5设V是木*-对象，A=Endy(v)．则下列条件是等价的．
(1)V是*-对象．
(2)V是selfsmall，任意正合列O→L→M→N→O，其中M，N ∈Gen<,n>(v)，我们有L ∈Gen<,n>(V)当且仅当诱导序列0→H<,V>(L)→H<,v>(M)→H<,v>(N)→O是正合的．
(3)V是selfsmall，任意正合列O→N→V(x)→M→O，其中M ∈Gen<,n>(v)，X是集合，我们有N ∈Gen<,n>(V)当且仅当诱导序列O→Hv(n)→Hv(V<(x)>)→H<,v>(M)→0是正合的．
(4)v诱导出等价第六章，我们给出n-self-cotilting余模和n-cotilting余模的定义，其中n-self-cotilting余模是Wisbauer[11]中self-cotilting余模的推广，n-cotilting余模是汪[58]中tilting余模的推广．并得到了由n-self-cotilting余模和n-cotilting余模诱导的余模范畴之间的等价．在余模范畴中得到了[52]中关于模范畴等价的对偶结果．在6.5节，我们给出了n-cotilting余模的例子．得到下列主要结果：
定理6．2．5下列条件是等价的．
(1)T是拟有限self-co-small n-self-cotilting余模．
(2)T是拟有限self-co-small余模，并且对任意正合序列0→L→M→N→O，其中L,M ∈Cogen<,n>(T)，我们有N ∈Cogen<,n>(T)当且仅当诱导序列O→F(L)→F(M)→F(N)→O是正合的．
(3)T是拟有限self-co-small余模，并且对任意正合序列O→N→T→M→O，其中N ∈Cogen<,n>(T)，X是集合，我们有M ∈Cogen<,n>(T)当且仅当诱导序列O→F(Ⅳ)→F(T)→F(M)→O是正合的．
(4)T是拟有限余模，并且T诱导出等价第七章，我们给出(n，t)-拟内射余模的定义并得到了余模范畴之间的等价，在余模范畴中得到了[56]中关于模范畴等价的对偶结果．得到下列主要结果：
定理7.1.6如果T<,c>是拟有限self-co-small(n，t)-拟内射余模，其中n≥2，1≤t≤n-1，则任意O≤i≤t-1，有等价F：T<,i>=A<,i>：G.
第八章，我们给出了∞-拟内射余模和∞一cotilting余模的定义，并得到了余模范畴之间的等价，在余模范畴中得到了[57]中关于模范畴等价的对偶结果.得到下列主要结果：
定理8.1.4设T<,c>是拟有限self-co-small∞-拟内射余模，D=hc(T<,c>，T<,c>).则下列条件等价.
(1)T是∞-拟内射余模.
(2)若O→_L→M→N→O是任意正合列，其中L,M∈Cogen<,∞>(T)，我们有N∈Cogen<,∞>(T)当且仅当诱导序列O→F(L)→F(M)→F(N)→O是正合的.
(3)若O→N→T→M→O是任意正合列，其中N∈Cogen<,∞>(T)，X是集合，我们有M∈Cogen<,∞>(T)当且仅当诱导序列O→F(N)→F(T)→F(M)→O是正合的.
(4)T诱导出等价G：KerG(T)：F.