光波导是引导光传播的结构,是通信系统和集成光电路中的基本部件,包括平面（薄膜）介质光波导和通道（条形）介质光波导。这两种波导主要用来构成光学元件。近年来,出现了许多结构复杂的光波导,例如,光子晶体光纤和等离子体波导,它们具有许多传统波导所没有的独特特性。对这些非线性的光波导进行精确的数值模拟,研究它们在光子器件周围的电磁场分布以及了解其传输特性,变得越来越重要。本文为光学器件中非光滑的光波导问题设计高阶数值方法,并对数值方法做理论分析,进而研究光波导的模态和动力学行为。本文,首先从麦克斯韦方程组中推导出描述光波导问题的数学模型:定态薛定谔方程（组）和动态薛定谔方程（组）。然后,采用配置谱元法离散非光滑折射率分布下的定态薛定谔方程,并对微分算子的配置谱元近似特征值的定性行为作理论分析,通过特征值特征函数求解器和虚距离演化法构造算法获得三类定态模型的本征值和本征函数。最后,为非光滑折射率分布下的动态薛定谔方程设计高精度数值方法,并对配置谱元格式作稳定性分析。另外,为了避免边界限制干扰电磁波的准确传输,我们在计算区域的边界使用PML技术并设计高阶数值算法。将这些数值方法应用在一些波导结构中进行数值模拟,数值结果验证了算法的准确性和有效性。本文的主要研究内容和结论如下:（1）根据光的电磁理论基础,考虑单色波,假设折射率分布沿传播方向变化缓慢,并利用慢变包络场变换近似,从麦克斯韦方程组推导出描述光在光波导和集成光子器件中传播的数学模型:线性（非线性）定态薛定谔方程（组）和线性（非线性）动态薛定谔方程（组）。通过定态薛定谔方程的本征值与本征函数来描述光波导问题的基模和电磁波传播振幅,进而从动态薛定谔方程中获得光的传播特性。（2）研究了定态薛定谔方程的配置谱元法。首先介绍配置谱方法和配置谱元法,并测试收敛精度,然后采用基于Chebyshev多项式的配置谱元法获得三类定态模型的全离散数值格式,并估计了配置谱元算子的近似特征值的上界和下界,为求解定态薛定谔方程的最大特征值和特征函数提供理论依据。最后根据特征值和特征向量求解器和虚距离演化法两种方法各自的特点为三类定态问题设计求解本征值和本征函数的迭代算法,将其应用在一些波导结构中进行数值求解,并通过数值结果作如下对比:本文结果与其他文献对比;线性与非线性结果对比;获得本征值本征函数的两种方法作对比。（3）研究了动态薛定谔方程的配置谱元法。为三类动态模型设计高精度数值算法:为一维线性动态薛定谔方程设计基于Crank-Nicolson的Chebyshev配置谱元法、为二维线性动态薛定谔方程设计基于ADI的Chebyshev配置谱元法,为非线性动态薛定谔方程设计基于Splitting的Chebyshev配置谱元法,并对配置谱元格式作稳定性分析,将这些数值方法应用在一些波导结构中进行数值模拟,数值结果不仅验证了理论分析,而且可以看出对于复杂的波导结构,以虚距离演化法得到的本征函数作为初值,能保证光波的长距离传输。（4）研究了带有PML的动态薛定谔方程的配置谱方法。考虑边界的PML技术,为带有PML的动态薛定谔方程设计高阶数值算法:基于Splitting的傅里叶配置谱方法,并通过数值实验验证该算法的准确性和有效性。最后在几种具有独特性质的波导结构中对非线性光波导问题进行数值模拟,数值结果显示,高阶数值方法与PML技术相结合,可以有效保证光波沿着波导结构传播。