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文[30]在研究余秩2、余维5的C∞实函数芽分类中,给出了带有任意4次齐次多项式p1 ( x , y )的函数芽f1 ( x , y )= x~2y+ p1 ( x , y)的一个特殊性质:芽f1的轨道是4 -开的等价于p1 ( x , y )中y~4项的系数不为零,并且应用这一特殊性质,给出了这类芽的标准形式.本文将芽f1的这一特殊性质推广到一些具有类似形式的函数芽中去,作为应用,给出了它们的标准形式.我们的推广涉及两个部分:推广1设f1 ( x , y )= x~2y+ p1 ( x , y), f2 ( x , y ) = x~3+ p2( x , y), f3 (x,y)=xy~2+ p3 ( x , y )和f4 ( x,y)= y~3+p4 ( x , y )分别是带有关于x ,y的任意4次齐次多项式p1 ( x , y ), p2 ( x , y ), p3 ( x , y )和p4 ( x , y)的函数芽,我们有定理1(i)芽f1 ,f2的轨道是4 ?开的分别等价于p1 ( x , y )和p2 ( x , y )中y~4项的系数不为零;(ii)芽f3, f4的轨道是4 -开的分别等价于p3 ( x , y )和p4 ( x , y )中x~4项的系数不为零.作为定理1的应用,我们得到定理2若f1 ,f2, f3, f4具有定理1的性质,则f1 ,f2, f3和f4分别右等价于x~2 y±y~4 , x~3±y~4 ,xy~2±x~4和y~3±x~4.进一步, f1和f3的标准形式为x~2 y±y4; f2和f4的标准形式为x~3±y~4.其中j = 5,6,7,8. pi , qi ,ui和vi为关于x ,y的任意i次齐次多项式(i = 4, , k), k≥5, crj = dimR [( M r (2) + M (2)·J ( fj )) /( Mr+1(2) + M (2)·J ( fj))]是芽fj( x , y )( j = 5,6,7,8)的轨道切空间的余维分布.在f j( j = 5,6,7,8)的轨道切空间的如下余维分布下, f5 ,f6, f7, f8有下面的特殊性质:道是k-开的, k≥5.如果f 5的轨道切空间的余维分布ci~5≡1(i = 4,5, , k? 1),则pi ( x,y)中xyi-1和yi的系数为零.同样地,如果f6的轨道切空间的余维分布ci~6≡1(i = 4,5, , k? 1),则qi ( x , y )中xi-1 y和xi的系数为零.其中pi ( x,y)和qi ( x , y)为关于x ,y的任意i (i = 4,5, , k)次齐次多项式.是k-开的, k≥5.如果f7的轨道切空间的余维分布ci~7≡2(i = 4,5, , k-1),则ui ( x , y )中x~2 yi-2 ,xyi-1和yi的系数为零.同样地,如果f8的轨道切空间的余维分布ci~8≡2(i = 4,5, , k-1),则vi ( x , y )中xi-2 y~2 ,xi-1 y和xi的系数为零.其中ui ( x , y )和vi ( x , y )为关于x ,y的任意i (i = 4,5, , k)次齐次多项式.作为定理3的一个应用,我们有如下的定理5和推论:的性质,其中pi ( x , y ), qi ( x , y )∈P2i, i = 4,5, ,k,则f5 ,f6分别右等价于x~2 y±yk和xy~2±xk.进一步f5 ,f6的标准形式为x~2 y±yk.推论设f ( x , y )∈M~3(2)是余维数为7的二元函数芽且其轨道切空间的余维分布为c3 = c4 = c5 = 1, c6= 0,则f ( x , y )的标准形式为x~2 y±y~6.
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