本篇论文主要研究了两类随机控制问题:一个是几何布朗运动驱动的最优股票配对交易策略,另一个是马尔科夫链驱动的最优库存—价格模型。另外,我们还研究了线性正倒向随机微分方程组(FBSDEs)和一类常微分方程组(ODEs)解的适定性问题,针对适定性难以确定的情形,我们引入非退化矩阵进行变换,利用变换后方程组解适定所需满足的条件,反推出变换矩阵应符合的形式,进而得到原始方程组解的适定性。配对交易又称做成对交易,最初是由华尔街著名投行Morgan Stanley中的Tartaglia量化交易组在上个世纪八十年代提出的股票交易策略。配对交易策略的主要思想是构建一个由两种风险资产组成的投资组合,并以一个固定预设比例卖空其中一种风险资产并同时买入另一种风险资产。配对交易策略在投资组合价值本质偏离其均值时进行建仓,并期望投资组合价值在一段时间后回复至其均值附近。当回复过程发生后,反向操作两种风险资产,从而平仓盈利。对比其他传统交易策略,配对交易策略能够在股票市场整体下行时依然盈利,这使得配对交易策略成为丰富投资组合以及防范市场风险的重要交易策略。研究实际问题时,很多系统在随机干扰下表现出长期在某几种状态之中转换的特性,针对此特性,在数学上,我们将其刻画为马尔科夫链驱动的随机控制问题。不同于传统的扩散模型,马尔科夫链主要具有以下两个方面的优势。首先,从模型的角度来看,由马尔科夫链驱动可以更好的体现模型具有长期趋势但随机波动并不频繁的特征;另一方面,马尔科夫链驱动的模型在处理衍生品定价和投资组合优化等问题中,已取得许多进展和应用。马尔科夫链驱动模型使得目标过程几乎处处可微,根据动态规划原理,其对应于一阶Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程,相比于传统扩散模型,更有利于得到解析解。而且,马尔科夫链与传统扩散模型并不是矛盾对立的,可以通过改变马尔科夫链驱动模型的跳跃速率和幅度来近似得到几何布朗运动模型。本篇论文在前人研究基础之上,进一步深入研究,并将研究所得理论结果应用解决部分实际问题。全文主要分为以下六个部分,主要内容和具体结构如下:论文第一章,主要就本论文所涉及问题的研究背景展开深入介绍,并详细阐述之后每一章节的主要学术贡献。论文第二章,主要研究了可止损的最优股票配对交易策略,及其在金融市场中的应用。不同于均值—回复模型驱动的配对交易策略,我们假设股票价格服从几何布朗运动,将两支股票价格之比作为确定何时买卖配对组合的依据,建立阈值形式的可投资区域。针对股票交易中可能出现的收购、破产等不确定因素,为有效控制风险,我们预设一个止损线,凡触及此限制的所有交易将立即平仓止损。为解决此问题,我们首先利用动态规划原理,推导值函数满足的HJB方程和变分不等式,借助平滑延展方法得到解析解。在固定的止损水平下,给出阈值形式的最优配对交易策略,分析配对策略对模型参数的依赖性,最终展示两个应用股票历史价格和本章结果进行投资的金融实例。论文第三章,受实际生产中商品库存与价格之间的供求关系启发,针对商品需求受价格长期影响且变化缓慢的特点,我们将商品需求建模为马尔科夫链驱动的连续监测库存模型,研究最优库存—价格匹配策略。库存—价格匹配策略旨在根据库存水平调整商品价格以最大化收益函数,不同于传统扩散模型的研究方法,我们引入一个有限状态转移的马尔科夫链进行研究,通过动态规划原理,得到HJB方程。为解决该问题,首先建立阈值形式的最优定价策略,得到最优商品价格与库存的关系。进而,针对马尔科夫链不同状态对应的最优价格阈值,应用平滑延展方法,依次解决不同子区间上一系列代数方程,从而得到最优库存—价格匹配策略对应的解析解。最后,分析阈值关于模型参数的依赖性,将得到的理论结果应用于物流—仓储问题中。论文第四章,主要研究了线性完全耦合正倒向随机微分方程(FBSDEs)解的适定性问题,针对线性FBSDEs,给出易于应用的适定性判别方法。首先将经典单调条件推广至线性FBSDEs,在统一框架法的启发下,我们证明了单调条件实际可被看做是统一框架法的一种特殊情况,通过不满足单调条件的例子,应用统一框架法得到其适定性。随后,针对既不满足单调条件又不满足统一框架法的情形,我们引入线性变换方法,借助变换矩阵的非退化性以及变换后FBSDEs的适定性,给出变换矩阵应符合的判别条件,从而反推出原FBSDEs解存在唯一,最后将得到的理论结果应用于实例中。论文第五章,受统一框架法中正则解耦域的启发,推广正则解耦域方法,解决一类常微分方程(ODEs)两点边值问题的适定性。首先,针对系数为常数的ODEs,给出其解耦域正则性条件,得到易于应用的适定性判别方法,并且证明了经典单调条件可被视为推广正则解耦域方法的特殊情况。对于函数系数的ODEs,借助函数的有界性,推广解耦域正则应满足的上下界方程,进而得到解耦域正则性条件。然后,对于不能应用正则解耦域方法的情形,引入非退化矩阵,将原始ODEs进行变换,推出变换后ODEs解存在唯一需满足的条件,据此给出选择变换矩阵的依据,并将得到的理论结果应用于实例中。论文第六章,总结本论文第二至五章得到的相关结果并给出研究展望。