电磁场本征值问题是电磁工程领域,尤其是微波技术领域的重要课题。这不仅是因为各种结构如波导、谐振腔和介质如周期介质中不同模式的场型分析和传输特性的研究直接和本征值问题的研究有关,而且很多微波部件和系统的工程设计往往直接以本征值问题的求解为基础。本文对两类电磁场本征值问题进行研究。一是介质本征值问题,二是结构本征值问题。在介质本征值问题的理论研究中,重点研究二维周期介质纵向导波问题。介绍了一般二维周期介质理论,详细推导出二维周期介质中模式应满足的控制方程。指出了应用一般二维周期介质理论研究纵向导波问题的困难所在。构造出新的坐标系——传播坐标系,并找到一个特定的方向。在该方向上,二维周期介质中模式的控制方程首次被分离为独立的纵向TE、TM模的控制方程。基于分离后的TE、TM模的控制方程,可以得到二维周期介质中纵向模式的本征值及对应的本征矢量。本文对纵向模式控制方程的首次分离,不仅极大的简化了二维周期介质中纵向导波问题的研究,而且是对一般二维周期介质理论的扩展和完善。在结构本征值问题的理论研究中,重点研究复杂导波结构的本征值问题,包括三维复杂形状同轴型谐振腔和任意横截面金属波导的本征值问题。提出了研究复杂形状同轴型谐振腔的等效电路和边界元混合法。该法将三维腔体本征值问题转化为腔体横截面上的二维电磁场问题和等效传输线电路问题,然后用边界元法求解二维电磁场问题,用横向谐振法分析等效电路。混合法不仅简化了复杂腔体结构本征值问题的分析,而且提高了计算结果的精度。此外,推导出波导TM、TE模的传输功率、损耗功率、衰减常数、等效阻抗等特征参数的边界元公式。这是边界元算法在波导本征值问题中的深入应用。应用介质本征值问题的理论研究成果,对二维周期介质纵向模式的色散关系进行了近似分析。随后,以矩形、圆形介质波导阵列作为研究对象,详细计算了不同无扰动圆半径下纵向TE、TM模的色散曲线图,全面研究了阻带内纵向模式的色散特性。结果发现:阻带内纵向模式的波数变为复数;电磁波在横向衰减,因而可实现纵向上的纯粹导波。此外,求出了周期介质纵向导波问题对应的本征矢量,即纵<WP=5>向模式中各Floquet空间谐波的幅度。结果发现:在阻带区域外,空间谐波的互作用较弱,能量耦合效应不太明显。在阻带区域内,空间谐波的互作用很强烈。这种互作用是纵向模式的色散曲线偏离无扰动圆和各谐波幅值发生变化的根本原因。利用提出的等效电路和边界元混合法对30MeV加速器谐振腔进行研究,计算出腔体的谐振频率,初步进行了腔体的优化设计工作。所得结果和模型测量及实体测量结果都吻合良好。这表明,混合法可以很好的解决复杂腔体的本征值问题。应用推导的边界元公式对矩形波导、圆波导和五角波导进行研究,得到了波导模式的截止波数及传输功率、损耗功率、衰减常数和等效阻抗等特征参数。结果表明,用边界元算法求解任意横截面波导模式的本征值问题具有良好的效率和精度。