由于反问题有着广泛而重要的应用背景,其已成为具有交叉性的计算数学、应用数学和系统科学中的热门研究方向,受到国内外众多科研工作者越来越多的关注.相比于正问题,反问题的研究具有其独特的理论和所面临的挑战性（通常具有非稳定性、非线性性和非凸性）.本文研究的Cauchy问题是一类线性反问题,具有严重的病态性,其病态程度是具有指数行为.Cauchy问题也称数据完备化问题,在静热力学、机械工程和腐蚀的无损评定等问题中有重要的应用.Cauchy问题通过可测量边界上的Dirichlet和Neumann值,即Cauchy数据,恢复不可测量边界上的Cauchy数据.由于Cauchy问题的病态性和测量数据中包含不可避免的噪声,通常的方法无法提供一个合理的近似解.因此需要采用特殊的技巧,即正则化策略.本文研究用迭代正则化方法求解一类热稳态方程Cauchy问题.与通常建立迭代格式不同,本文首先引入人工时间,建立关于时间的一阶和二阶动力系统;然后对时间进行离散,推导出加速的迭代算法.全文共分五部分:在第一章中,我们介绍Cauchy问题的相关背景和研究现状.在第二章中,利用耦合复边界方法（CCBM）,将Cauchy问题转化为:求不可测量边界上的Cauchy数据,使得解的虚部在区域的内部等于零.接着,论文将一阶渐近正则化方法和变形的一阶渐近正则化方法应用于基于CCBM的Cauchy问题.一阶渐近系统离散后,可以得到Landweber迭代方法,其收敛非常慢.研究结果表明,包含惯性项的二阶渐近方法具有加速效果.为此,在第三章中,本文考虑将二阶渐近正则化方法应用于Cauchy问题.论文分别讨论了含噪和不含噪数据、固定阻尼参数和动态阻尼参数下解的极限行为,证明了解的收敛性.引入时间离散的龙格-库塔格式、辛欧拉格式、St（?）rmer-Verlet格式以及改进的St（?）rmer-Verlet格式,建立了加速的迭代算法.求解反问题时会出现“半收敛”现象,迭代需要提前终止,本文采用Morozov偏差原理作为停止准则.实验结果表明,相比于Landweber方法,二阶迭代方法求解Cauchy问题时,具有明显的加速效果,且可以与常用的 ν方法和Nesterov方法相媲美.在第四章中,我们将第二章变形的一阶渐近系统推广到二阶,提出变形的二阶渐近正则化方法,并证明了新二阶系统解的存在唯一性.对特殊情况,利用基本解,将二阶系统的解表示为积分形式.通过对积分进行离散,并结合Morozov偏差原理选择合适的终止时刻,论文提出了一个新的加速迭代正则化方法.数值实验结果表明,变形的二阶迭代方法也具有明显的加速效果,且可以与常用的 ν方法和Nesterov方法相媲美.最后,在第五章中,我们对本文的工作进行了总结与展望.