在自然科学以及技术科学，例如物理，生物学，自动控制，电子技术等等领域中，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题。通常可以根据实际问题建立数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，然后，求解这个微分方程，用所得的数学结果来解释问题，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。 近年来，无穷时滞泛函微分方程的周期解问题受到广泛关注，一些学者应用Lyapunov泛函方法，Schauder不动点方法，以及非线性泛函分析中的锥拉伸锥压缩方法，研究了无穷时滞泛函微分方程的周期解的存在性问题。非线性泛函分析理论中的不动点指数理论在研究微分方程两点边值问题正解的存在性与多解性时，取得了很好的结果。本文第一章利用这一理论研究方程(1.1.1)-(1.1.4)的正周期解问题，与已有研究成果相比，本章不仅获得了该类方程的正周期解的存在性定理又获得了正周期解的多解性定理，并将所取得的结论应用于一些具有实际背景的方程。 一个国家或地区的人口发展过程是一个动态过程，人口系统是一个动态系统，这一事实不仅已为大多数人口学家所承认，而且已为科学实践所证明。对于一个比较安定的社会(国家、省市或地区)，描述人口发展过程可以用两种模式来描述，一种是连续模型：一个带有相应边界条件的偏微分方程；另一种是离散模型：一个双线性控制的离散差分方程组。第二章利用m增生算子理论与非线性半群理论，研究了连续模型，即具有随机移民扰动的非线性人口发展方程，在确定型和随机型两种情况下获得了方程局部解的存在性定理。 传染病的数学模型可以用来预测某个国家或地区在某一时刻可能会出现多少病例或说明当前情况，它能够展示出该传染病的传播规律，这有助于政府有关部门对疫情进行预测，并对相关因素及影响程度做出合理评价，相关部门可以及时有效地对关键性因素进行控制从而起到积极的预防作用。方程是可以作为描述某些随季节变化的传染病传播的模型，本文第三章利用不动点指数定理讨论该类积分方程的多重正解问题，改进了文献的结果。