近年来,随着非线性科学的不断发展,人们通过对经典理论和算法的研究来寻找新的研究方向,提出并建立了新的理论体系和算法。在这方面的研究中,Peter Olver和Mark Fels等人做了许多开拓性的工作,提出了新的等价活动标架理论,利用新的理论体系和符号计算的强大功能将应用在李群作用下的活动标架推广到无限维李群作用。通过对等价活动标架的构造,可求出相关的微分不变量、无穷小生成子的延拓形式、递推公式等,进而可将其应用在多项式等价问题、微分方程分类和其他不变理论的研究中。本文通过对等价活动标架法及群作用下无穷小生成子的高阶延拓和微分不变量全局递推公式的研究,推导获得了关于无穷小生成子的高阶延拓定理。此外,利用符号计算的功能设计相应的算法并利用有关规范化微分不变量基本集,来构造无穷多高阶规范化微分不变量的递推公式和用来描述高阶微分不变量之间关系的syzygies。进一步,利用所获得的高阶微分不变量,来构造群作用下一般子流行的显式Monge-Taylor形式。其次,利用已有等价活动标架理论和算法,对算法的设计做了一定的改进,进而求解并得到李伪群作用下的微分不变量和递推公式。该方法主要是通过递推方法和改进的算法来构造等价活动标架,不仅得到微分不变量、不变微分形式等结果,而且有效减少了繁琐的数学计算,也使在无限维李伪群作用下构建活动标架和寻找微分不变量的算法更为简洁。最后,根据基本活动标架方法和不变化过程及李群无穷定理等理论,初步地将其应用到对微分方程李对称伪群产生的微分不变量进行简单分类并分析其对应的微分不变量代数结构。同时,利用第三章得到的无穷小生成子的延拓、微分不变量、syzygies等结果初步探索它们在计算机图像处理中的应用研究。本文通过对等价活动标架法和其在具体应用实例中的研究,得到如下结果,主要包括群作用下子流形的微分不变量的最小生成系统、(高阶)微分不变量及其递推公式、规范化微分不变量、syzygies、群作用下无穷小生成子的高阶延拓和它们之间的关系。同时介绍等仿群作用下子流形的曲线在图像处理中的理论应用研究以及利用递推活动标架的改进算法来构造有限维李群和无限维李伪群作用下的活动标架和求解相关的微分不变量,该方法能较好地对微分方程对称群作用下求出的微分不变量进行分类,以此获得更多研究结果,并为流体力学、弹性力学、几何学、计算机视觉、孤立子理论等方面的关键问题研究提供理论研究依据。