论文部分内容阅读
这是一篇关于三角范畴及其应用的博士论文，主要包含以下三个方面的内容．
1．对于任意Abel范畴A及其任一自正交加法满子范畴ω，本文第二章引入了相对奇点范畴D<,ω(A)的概念．这推广了Orlov关于Noether环的奇点范畴的概念[93]．同时也引入了Frobenius正合范畴α(ω)，它是一4的满子范畴且其相对投射-内射对象的全体恰为ω的加法闭包．第二章的主要结果证明了自然函子αω)→D<,ω>(A)是三角范畴间的嵌入(fully-faithful)函子；并在一定条件下，证明了该函子为范畴等价．利用该三角等价，我们可将相对奇点范畴刻画为ω上的无界正合复形的同伦范畴．
将上述一般结论应用到具体的奇点范畴上，我们得到：
1)．对于(非交换)Gorenstein环，其奇点范畴等价于其极大Cohen-Macaulay模形成的满子范畴的稳定范畴．这是Buchweitz未发表的定理[28]．
2)．对于具有有限Gorenstein维数的Gorenstein范畴，其奇点范畴等价于稳定范畴α(ω)，其中ω为任一函子有限(functorially-finite)的广义倾斜子范畴．这推广了Happel的一个定理[51]．
2．对于任意具有有限维态射空间的加法范畴C，我们引入了广义Serre结构(对偶)的概念：它是这样的六元组(S，C<,r>，C<,l>，φ--，，(-，-)，Tr_)，其中C<,1>，C<,1>为C的两个满子范畴，S：C<,r>→C<,l>是范畴等价，称为广义Serre函子，φ-。-，(-，-)和Tr_的定义参见第三章．这个六元组中的后三项是互相唯一确定的．对于Krull-schmidt预三角范畴C，第三章的主要结果证明了：
1)．C<,r>和C<,l>均为有厚度的三角子范畴；
2)．广义Serre函子S是预三角范畴间的正合函子；
3)．设X∈C为不可分解对象．则X∈C<,r>(x ∈C<,l>)当且仅当以X为右端(左端)的Auslander-Reiten三角存在．
注意到根据Reiten和Van den Bergh的著名结果[98]，Serre函子的存在性与C中Auslander-Reiten三角的存在性是等价的．而由上述结论，广义Serre函子总是存在的，因此，特别地，上述结论推广了Reiten和Van den Bergh的定理．对于有限维代数和某些非交换射影概型的有界导出范畴，第三章还显式地计算出了2007年它们的广义Serre结构．作为两个应用，给出了有限维Gorenstein代数一个新刻画；加强了Rickard的一个定理[101]．
3．注意到对于域上具有有限维态射空间的加法范畴C来说，c具有幂等可裂性当且仅当c是Krull-Schmidt范畴．本文第四章研究了三角范畴的幂等可裂性，证明了如下两条基本且重要的定理：
1)．若加法范畴C是幂等可裂的，则其有界同伦范畴K(c)也是幂等可裂的．
2)．对于任意Abel范畴A，其有界导出范畴D(A)总是幂等可裂的。