【摘 要】
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本文主要在Hilbert空间的框架下,提出并研究了求解变分不等式问题的完全松弛自适应的次外梯度算法和部分组合投影算法.针对Lipschitz连续单调型变分不等式,Censor提出了次外
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本文主要在Hilbert空间的框架下,提出并研究了求解变分不等式问题的完全松弛自适应的次外梯度算法和部分组合投影算法.针对Lipschitz连续单调型变分不等式,Censor提出了次外梯度算法.在每一次迭代中,该算法把校正步中关于算子定义域上的投影替换为关于构造的某个半空间上的投影,使得算法较易实现,从而改进了外梯度算法.本文提出的完全松弛自适应的次外梯度算法,在每一次迭代中,把预估步和校正步中关于算子定义域上的投影都分别替换为关于构造的某个半空间上的投影(当定义域为有限个水平集的交集时,则替换为有限个半空间的交集上的投影),从而进一步改进了次外梯度算法的可实现性.另外,在本文的算法中,迭代参数按照自适应的方式来选取,无需计算或估计算子的Lipschitz常数,这是上述新算法的另一个优越性.本文就定义域为单个凸函数水平集与有限个凸函数水平集的交集两种情形,分别设计了完全松弛且自适应的次外梯度算法,论证了算法的弱收敛定理,并对算法进行了数据模拟试验,数据结果显示出上述新算法的优越性.对于定义在有限个凸函数水平集之交上的Lipschitz连续强单调型变分不等式,在每一次迭代中,一般的算法常常用到关于多个水平集逐次投影的方法,这使得算法较为复杂,计算量较大.为克服这一弱点,本文提出了部分组合投影算法,其核心是在每一次迭代中,按照某个规则,选用若干个凸函数来构造一个半空间,在迭代格式中只涉及关于这个半空间上的投影计算,从而使得计算格式简捷,容易实现.本文还证明了部分组合投影算法的强收敛性,其数值结果同样显示了该算法的优越性.
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