石墨烯具有优异的机械、光学、电学特性,在能源、材料、生物医学等领域颇具应用前景。人们发现石墨烯电子能带中的价带和导带在费米能级处相交,呈现出能量-动量的线性色散关系,其低能激发表现出无质量的狄拉克费米子的行为,满足相对论狄拉克方程,该特征表现为狄拉克锥。石墨烯中狄拉克锥分布在其布里渊区的六个角上。石墨烯因其能带结构中狄拉克锥的存在,表现出许多优异的性质,比如,高载流子迁移率、良好的热传导性以及量子霍尔效应等等。狄拉克锥为石墨烯带来的优异性质不断激励着人们利用理论预测和实验合成的方法寻找更多的狄拉克材料。目前,己有较多具有狄拉克性质的材料和晶格被提出,如六角晶格、Ruby晶格、Kagome晶格和Lieb晶格等等。从这些晶格结构来看,晶格都保持着镜像对称性,但是镜像对称性对狄拉克材料的必要性还未被证明,若在镜像对称性破缺的晶格中有狄拉克锥存在,这将为设计狄拉克材料提供新思路。提出具有狄拉克性质的晶格固然重要,实体材料是使具有优异性质的晶格得以在实际中应用的载体,因此寻找具有上述晶格结构的实体材料更为关键。常见的狄拉克材料,它们的价带和导带在费米能级附近相交于一点形成狄拉克点。一种较为罕见的狄拉克半金属材料,它们的价带和导带在费米能级附近相交形成一个闭合的圆环,称为狄拉克Node-Line(Dirac Node-Line,DNL)半金属。目前,二维DNL材料还很稀少,且多数被报道的材料中的DNL态受镜像对称性保护并且要求忽略自旋轨道耦合效应。因此,寻找能够抵抗自旋轨道耦合效应且拥有稳定DNL态的材料,是目前人们比较关注的问题。本文运用基于密度泛函理论的第一性原理计算,结合紧束缚模型,理论预测具有狄拉克性质的材料和晶格,为理论设计和实验合成狄拉克材料提供理论指导。主要研究内容和结果如下:利用单轨道紧束缚模型,在镜像对称性破缺的STT(snub trihexagonal tiling lattice,STT)晶格中预言了狄拉克锥的存在。自旋轨道相互作用使狄拉克锥打开带隙,表现出拓扑非平凡性。在STT晶格两种不同边界(zigzag和armchair)的纳米带中也有稳定的边界态存在。一个模型的提出,往往需要有实体材料作为载体,以实现晶格本身的优异性质。第一性原理计算结果表明Be3C4是有望实现STT晶格的实体材料。声子谱证明了Be3C4单层的动力学稳定性;通过分子动力学模拟证明Be3C4单层在室温下的动力学稳定性和独立的弹性常数满足力学稳定性判据表明Be3C4单层的机械稳定性。通过第一性原理计算和紧束缚模型计算其能带结构,发现Be3C4单层能带中价带和导带呈现出线性色散关系,表现为狄拉克锥的特征。同时,Be3C4单层的费米速度高于石墨烯的费米速度。STT晶格的提出排除了镜像对称性对狄拉克材料的必要性,拓宽了狄拉克材料的范围。狄拉克Node-Line(Dirac Node-Line,DNL)半金属是一种新型量子态。目前,二维DNL半金属材料还很稀少,且多数被报道的二维DNL材料中的半金属态在自旋轨道耦合效应下都会打开微小的带隙。我们利用紧束缚模型提出s+pz和Px,y+Pz轨道的Lieb晶格模型,该模型中的DNL态是由于具有不同对称性的能带反转引起的,它可以抵抗自旋轨道耦合效应而稳定存在。在此基础上,我们通过第一性原理计算提出了两种满足s+pz和Pxy+z轨道的Lieb模型的实体材料——BeH2和Be2C。第一性原理计算结果表明,它们的价带和导带在费米能级处相交,并呈现出闭合圆环形状,表现为DNL半金属态。此外,它们的DNL半金属态能够抵抗自旋轨道耦合效应而稳定存在。它们具有较高的费米速度,几乎是石墨烯费米速度的四倍。此外,Be2C和BeH2具有非零的拓扑不变量,并且伴随着边界态的出现。Lieb模型的提出为设计二维DNL半金属提供了新方向。基于第一性原理计算,理论预测了一种新的碳同素异形体,由sp-和sp2-两种杂化方式碳原子构成,命名为超级石墨炔(super-graphyne)。超级石墨炔的原胞中包含16个原子,其中两种杂化方式的碳原子的比例为:sp-:sp2-=3:1,这一比例是其他炔类结构中所没有的。声子谱、分子动力学模拟和力学稳定性判据都证明了超级石墨炔的稳定性。通过对超级石墨炔电子能带结构的分析,发现其电子性质在倒格空间具有高度的各向异性,呈现出Node-Line狄拉克锥,即被认为具有Node-Line半金属性质。沿着倒格空间中F-X的方向,价带与导带相交于X点,呈现出狄拉克锥形状的特征,且具有比石墨烯还高的费米速度。然而,沿着倒格空间中X-P的方向,能带几乎不存在色散。具有zigzag边界超级石墨炔的薄膜因为边界上sp2-杂化的碳原子上有未成对的电子存在,而产生自旋极化现象,位于边界上的磁矩相互耦合,表现出反铁磁基态,并且保持了体超级石墨炔的半金属性质。