我们知道,研究客观世界中物体的运动规律,生物种群的变化规律,股市行情的变化曲线,以及卫星的运行轨迹等等都离不开对微分模型的定性性态的研究.这些来自生产实际问题的微分模型有自治和非自治微分系统.对于自治微分系统,国内外有大量的数学家投入了很大的热情解决了许多问题并取得了丰富的结果,而对于时变的微分模型如何研究它的解的定性性态呢?由于模型的复杂性,使得研究起来变得异常困难.能否将时变系统转化成自治系统来研究呢?答案是肯定的.Lyapunov变换就实现了将周期时变线性系统转化为常系数的线性系统来研究.那对于非线性的周期系统或者时变微分系统能否实现将其转化为自治系统进行研究呢?上世纪八十年代Mironenko教授创建了反射函数理论,应用这个理论我们可以建立两个微分系统的定性等价关系.若两个周期微分系统等价,那么它们的周期解的定性性态相同.若一个非周期时变系统与一个周期时变系统等价,那么它们某些边值问题的解一一对应.本文我主要研究了几类非自治非线性的微分系统与自治系统之间的定性等价性,给出了它们等价的若干充要条件,并应用所得结论研究了它们的周期解的定性性态.首先,我们研究微分系统与其线性近似方程组具有相同反射函数的充要条件以及函数X(t,x,y),Y(t,x,y)的结构形式.特别地讨论当X(t,x,y),Y(t,x,y)为x,y的二次多项式函数时,系统(1)与(2)具有相同反射函数的充要条件,并应用所得结论探讨它们周期解的定性性态.其次,我们给出了n次多项式微分系统与方程组(2)等价的充要条件,以及它们的周期解之间的定性关系.其中这里aij(t),bij(f)(i+j=k,k=1,2,3,…,n)为R上的连续可微函数,α1,(t),α2(t)为任意的连续可微奇函数.最后,我们主要研究了,n次时变多项式微分系统x=X1(x,y)+X2(x,y)+α1(t)X1(x,y)+α2(t)X2(x,y) (4)与自治多项式系统x=X1(x,y)+X2(x,y) (5)的定性关系,分别讨论了当时的情形,其中X2为关于x,y的n次多项式,给出系统(4)与(5)等价的充分必要条件以及系统(5)的结构形式.