【摘 要】
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在数学物理领域,由于非线性分数阶偏微分方程具有时间记忆性和非局部性,它能对自然界中的某些物理现象进行更加准确的描述,诸如Brown运动、反常扩散和粘弹性材料具有记忆问题等等.因此,非线性分数阶偏微分方程相关理论的研究具有重要的意义,也是当前的研究前沿之一.而分数阶微分方程精确解的研究是极为重要的一方面,得到的精确解不仅能揭示数学物理模型的规律性,还能为相关数值计算结果提供一种检验方式.本文基于保形
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在数学物理领域,由于非线性分数阶偏微分方程具有时间记忆性和非局部性,它能对自然界中的某些物理现象进行更加准确的描述,诸如Brown运动、反常扩散和粘弹性材料具有记忆问题等等.因此,非线性分数阶偏微分方程相关理论的研究具有重要的意义,也是当前的研究前沿之一.而分数阶微分方程精确解的研究是极为重要的一方面,得到的精确解不仅能揭示数学物理模型的规律性,还能为相关数值计算结果提供一种检验方式.本文基于保形分数阶导数的定义和性质,借助（G’/G,1/G）-展开法、变量分离的ODE方法和扩展的F-展开法,构造了时空分数阶Drinfel’d-Sokolov-Wilson（DSW）方程组和时空分数阶双Sine-Gordon方程丰富的精确解.本文的主要内容安排如下:第一章为绪论,主要介绍了非线性分数阶偏微分方程的研究背景和意义、非线性分数阶偏微分方程精确解的研究现状以及本文的工作安排情况;第二章给出了几种应用最为广泛的分数阶微分导数的定义与性质,以及详细介绍了（G’/G,1/G）-展开法、变量分离的ODE方法和扩展的F-展开法的理论基础;第三章首先介绍了时空分数阶DSW方程组当前已有的一些研究结果和求解方法,并利用（G’/G,1/G）-展开法和扩展的F-展开法讨论DSW方程组,得到了该方程组丰富的精确解,包括双曲函数型、三角函数型、有理函数型和Jacobi椭圆函数型精确解;第四章将变量分离的ODE方法和扩展的F-展开法应用于时空分数阶双Sine-Gordon方程,得到了该方程三角函数型、双曲函数型、指数函数型和Jacobi椭圆函数型精确解.特别在应用扩展的F-展开法时选择了不同的辅助方程得到了更加丰富的结果;第五章是总结与展望部分.
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