扩散过程是一类重要的自然现象,在生命科学、材料科学、环境科学等领域具有广泛的应用.基于微分方程模型的扩散过程的参数重建,本质上是发展微分方程非标准初边值问题的理论和算法.由于问题的非线性性和不适定性结合在一起,该类问题的求解需要在处理非线性性的同时引入正则化方法以得到稳定的数值解.本文致力于基于扩散过程的介质成像和检测的研究,数学模型为带有时间分数阶导数的偏微分方程控制的慢扩散（超慢扩散）过程对应的反问题和经典抛物型方程对应的非线性反问题.研究内容包括以慢扩散为背景的含单个时间分数阶导数的偏微分方程反问题、以超慢扩散为背景的带有分布型时间分数阶导数的偏微分方程反问题、以生物荧光成像为背景的线性耦合方程组的非线性反问题.系统地研究一类扩散方程（特别是带有时间分数阶导数的偏微分方程）的反问题的理论和算法,是本文的主要研究内容.本文具体包括以下四个方面的工作.首先,假设带有单个时间分数阶导数的扩散模型的内部源项具有时空变量分离的形式F（x,t）=f（x）β（t）,考虑由部分边界上的Neumann测量数据确定空间依赖源项f（x）的反问题.在第三章中,基于连接反演输入数据和未知源项的变分恒等式,提出了证明反问题在弱范数意义下条件稳定性的新方法.与传统的由Carleman估计研究反问题稳定性的方法相比较,我们的方法对于一般的分数阶导数的阶数α∈（0,1）和一般的源项衰减系数β（·）∈C[0,T]都是适用的.其次,同样假设分布型时间分数阶扩散模型的内部源项具有时空变量分离的形式F（x,t）=f（x）β（t）,考虑由部分内部测量数据确定时间依赖源项β（t）的反问题.在第四章,我们详细分析了分布型时间分数阶常微分方程的解的性质,基于此,证明了带有分布型时间分数阶导数的偏微分方程的强解的适定性.另外,考虑了其对应的伴随问题的弱解适定性.在正问题达到强解的正则性和伴随问题达到弱解的正则性的条件下,我们建立了反问题的变分恒等式,并证明了反源问题的条件稳定性.第三,研究了分布型时间分数阶扩散模型中权函数的重建.在第五章,我们证明了内点观测数据关于未知权函数的Lipschitz连续性,基于此,由一般的极小化序列和紧性理论证明反问题对应的正则化误差泛函的极小元存在性.另外,证明了该误差泛函的可微性且给出泛函梯度的求解格式.因为观测数据非线性和非局部地依赖于未知权函数,此类优化问题的分析和求解是新颖且困难的,需要更细致的理论分析.同时,对于上述三类反问题,本文利用梯度型迭代算法开展数值反演研究.我们通过大量数值算例验证了所提出算法的有效性,数值结果表明我们提出的算法具有理想的数值实现结果.但是,对应此三类反问题的数值实现效果还是有比较明显的差别的.具体而言,由时间序列观测反演时间依赖源项的数值结果非常理想,而由时间序列观测反演空间依赖源项或反演分数阶导数阶数的权函数是相对困难的.可能的原因是:一方面,此三类反问题的病态程度不同;另一方面,反问题的性质与作为反演输入的观测数据的给定方式紧密相关.最后,第六章研究了荧光层析成像的线性化扩散模型对应的系数重建的反问题.该模型主要是经过两步近似得到.首先,基于光子辐射传输中的扩散近似理论,将辐射传输模型（RTE模型）转换为非线性扩散模型（DE模型）,基于该模型来确定荧光团吸收系数的反问题是非线性的.其次,对非线性扩散模型进行线性化,从而得到线性化扩散模型（线性化DE模型）,基于该模型反演生物组织中的荧光团分布的反问题是线性不适定的.我们对模型线性化对激发场和反问题解产生的误差给出了定量估计,由误差估计可以看出,如果荧光体的吸收系数明显小于背景介质的吸收系数,则线性化产生的模型误差极小.数值方面,对激发场和发射场,我们分别比较了RTE模型和线性化DE模型的拟合程度.由数值结果可以看出,对于大多数时刻点,两个模型得到的时间分辨函数图像吻合得较好,从而说明了模型线性化的合理性.最后,假设荧光团的三维吸收系数具有水平信息和垂直信息分离的形式,并且垂直方向的信息已知,我们证明了由边界上探测到的发射场信息反演吸收系数的水平信息的唯一性.