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许多学者都对三元二次型mi+m2+m2的性质非常感兴趣。设 x是一个正实数。在1963年, Vinogradov和陈景润分别独立地研究了三维球ul+u2+u2< x中的格点个数问题,并且得到了以下渐近公式(此处公式省略) 后来,上式余项中的指数2/3被 Chamizo和 Iwaniec[2]改进到29/44,后又被Heath-Brown改进到21/32。最近,一些学者开始用不同的方法研究关于三元二次型的问题。令 n3( x)表示满足下面条件的整数点的个数,(此处公式省略) Friedlander和 Iwaniec[5]证明了(此处公式省略) 这个结果可以看作是素数定理的一个推广。令 A(n)表示vonMangoldt函数,即(此处公式省略) 郭汝庭和翟文广研究了下述和式的渐近公式,(此处公式省略) 并且得到(此处公式省略) 其中0是一个固定的常数,且(此处公式省略) 令 f是在SL2(Z)上的Maass尖形式,其拉普拉斯特征值是4+v2。将 f正规化,令其傅里叶系数首项为1,那么f的傅里叶展开式为(此处公式省略) 其中K s(y)是 K-Bessel函数, s=1+i t。然后,我们定义关于f的 L-函数为(此处公式省略) 该级数在 Re s>1时是收敛的(见[12])。应用 K. Chandrasekharan和R. Narasimhan[3]中的一个定理,我们可以得到(此处公式省略) 根据这个上界和柯西不等式,我们有(此处公式省略) (1.1)和(1.2)式中的这两个结果将会在我们接下来的证明中用到。 2015年,胡立群研究了下述和式的渐近公式(此处公式省略) 并且证明出(此处公式省略) 其中c>0是一个常数。2016年,G. Zaghloul[22]改进了胡的结果,他证明了(此处公式省略) 其中c是一个大于0的常数。 1938年,华罗庚[10]证明出几乎所有满足n三3( mod24)且 n*0( mod5)的整数都可以写成三个素数的平方和。后来,很多学者得到了关于三素数平方和的例外集问题的结果(见[1],[13],[15],[17]等)。在本文中,我们将根据上述结果来研究与T(x)相似的问题,并且可以得到以下结果。 定理1.令(此处公式省略) 那么我们有(此处公式省略) 其中c是一个大于0的常数。 定理2.当 k>3且 s> min{2k-1, k2+k-2}时,令(此处公式省略) 那么我们有(此处公式省略) 其中d是一个大于0的常数。 定理3.当 s23时,令(此处公式省略) 那么我们有(此处公式省略) 其中A是一个大于0的常数,且(此处公式省略) 为了证明以上定理,我们将采用经典的圆法。由于我们不知道关于MaaSS尖形式的Ramanujan猜想是否成立,所以只能用Maass尖形式的傅里叶系数的均值估计。