【摘 要】
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分数阶微分方程是一个比较热门的研究领域,它在物理、金融、流体力学等方面都有着广泛的应用.分数阶扩散方程在描述地下水污染物的运动过程、湍流、混沌动力系统等反常扩散现象时能够更加地准确,有着不可忽视的作用.对此类问题进行研究具有重要的理论价值和实际应用意义.本文研究Caputo-Fabrizio变分数阶反应扩散方程和Caputo-Hadamard变分数阶时间扩散方程的全离散局部间断有限元方法,主要包括
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分数阶微分方程是一个比较热门的研究领域,它在物理、金融、流体力学等方面都有着广泛的应用.分数阶扩散方程在描述地下水污染物的运动过程、湍流、混沌动力系统等反常扩散现象时能够更加地准确,有着不可忽视的作用.对此类问题进行研究具有重要的理论价值和实际应用意义.本文研究Caputo-Fabrizio变分数阶反应扩散方程和Caputo-Hadamard变分数阶时间扩散方程的全离散局部间断有限元方法,主要包括数值格式的构造、稳定性和误差估计,给出具体的算法实现过程和数值实验.全文的结构如下:第一章,我们简要介绍分数阶微积分的背景,变分数阶微分方程的研究现状和一些预备知识.第二章,我们在广义数值流通量的基础上,研究有界区域上的Caputo-Fabrizio变分数阶反应扩散方程.我们将在时间上用有限差分法离散,空间上用间断有限元方法离散,构造一种隐式的全离散局部间断有限元方法.我们证明了这种方法是无条件稳定的并且是收敛的.另外,我们给出了这种方法在数值程序上是如何实现的,并且给出了具体的数值算例,数值试验验证了理论结果的正确性和方法的有效性.第三章,我们考虑了基于Caputo-Hadamard变分数阶导数的时间扩散方程.我们通过时间和空间上不同的离散方法得到了LDG方法.我们在选取交替的数值流通量后,证明了格式的稳定性和误差估计.最后,我们给出数值例子来验证方法的精度.结果表明:对分片Pk多项式,LDG方法在空间方向上的收敛阶能够达到k+1,时间方向上能够达到1.第四章,我们将对本文的工作进行总结并作出展望.
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