本博士学位论文研究从R（X）到R（Y）和C（X）到C（Y）的等距映射的Mazur-U lam定理,其中,X,Y是Banach空间,R（X）和C（X）分别表示由X的所有非空紧和非空有界闭凸集构成的集族赋予Hausdorff度量构成的度量空间.著名的Mazur-Ulam（1932）定理是说“Banach空间之间的等距满射一定是仿射的”,它深刻的揭示了“保度量”的映射必须是“保线性性”的.以此为出发点,“保度量”或者“等距”映射的研究进行了八十多年,各种理论推广（例如非满等距、扰动等距或者ε-等距、粗等距映射等等）以及它们在相关领域的应用（例如,在粗几何领域）展现出很多引人入胜的优美结果.然而,对“集值型”的等距映射性质的研究并不多.除了有限维空间包括其局部化为数不多的几个结果之外,唯一对无穷维空间研究的就是周宇等人一篇文章,这也是本文研究动机的出发点.究其原因主要是受到集值映射“表示”工具的局限.我们用近年来发展起来的针对这种特殊的度量空间的等距嵌入定理,以及凸函数的可微性理论,克服了这些困难,证明了本文如下的主要结果.定理A.设X,Y为Banach空间,T:R（X）→R（Y）为一个满等距,则T在X上的限制T|x一定是一个从X到Y的仿射满等距.特别地,如果下列两个条件之一满足:i)X,Y之一是Gateaux光滑的;ii)X,Y之一是严格凸的;则 T（K）=∪{Tx:x∈ K},? K∈ R（X）.定理B.设Banach空间X,Y之一为Asplund空间,T:C（X）→C（Y）为一个满等距,则T在X上的限制T|x一定是一个从X到Y的仿射满等距·特别地,如果下列两个条件之一满足:ⅰ)X,Y之一是Fréchet光滑的;ⅱ)X,Y之一是局部一致凸Asplund空间;则 T（C）=U{Tx:x∈C},? C ∈ C（X）.因此,不仅肯定的回答了周等人提出的两个问题,这些结果即便是放在有限维空间也是新的.