本文研究奇性空间上的分析,主要分两部分：Alexandrov空间上的分析和代数簇上的分析。第一部分共五章,通过对Alexandrov空间奇点结构的研究,得到一致的Poincare不等式,由此得到调和函数的整体性质,如]Liouville定理,多项式增长调和函数有限维定理。第一章,绪论,总结了奇性空间上的分析和作者的主要结果.第二章,主要给出了Alexandrov空间的基本定义和结果,描述了它的局部结构。其中主要涉及奇点的特性和去除奇点后的微分结构,给出了Sobolev空间和调和函数的定义。第三章,在截面曲率非负的Alexandrov空间上,利用体积比较定理,证明了一致的Poincare不等式。应用Nash-Moser迭代得到了调和函数的Liouville定理,以及调和函数Holder正则性和无穷远处Holder增长性。用Nash-Moser迭代法也得到了次调和函数的平均值不等式。第四章,利用已证明的Poincare不等式和体积增长条件,在Colding-Minicozzi框架下,证明了多项式增长调和函数的有限维定理,并给出了最佳的维数估计。进一步,由次调和函数的平均值不等式,用Li的方法也给出了的证明。第五章,在Alexandrov空间上,在推广的Ricci曲率意义下(Sturm-Lott-Villani),证明了一致的Poincare不等式,并说明相应的分析结论也成立。第二部分为第六章,在代数簇上,证明了Sobolev-Gagliardo-Nirenberg和Poincare不等式,另外得到了Poincare不等式成立的充分必要条件。由此给出了Laplace算子的第一特征值的正下界。