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本文包括三章:第一章为引言，第二章运用临界点理论研究了四阶Hamilton系统T-周期解的存在性和多解性，第三章考虑了一类四阶周期边值问题基态解的存在性，其中对非线性项限制Ambrosetti-Rabinowitz增长性条件，运用极大极小原理来刻画基态. 下面我们对本文的主要结论阐述如下: 对于四阶Hamilton系统u(4)-(B(t)u)+A(t)u=▽F(t,u),a.e.t∈[0,T],(2.1)其中A(t)，B(t)是N×N对称阵，A(·)连续，B(·)连续可微，均以T为周期，且(B(t)x，x)≥|x|2，(t，x)∈R×RN.F:R×RN→R是t的T-周期函数，T＞0，F(t，0)=0，t∈R，且满足条件 (A)对任意x∈RN，F(·，x)是可测函数，对几乎处处的t∈[0，T]，F(t，·)是连续可微函数，且存在a∈C（R+，R+）,b∈L1([0，T]，R+)，使得|F(t,x)|≤a(|x|)b(t),|▽F(t,x)|≤a(|x|)b(t),x∈RN, a.e.t∈[0，T]. 定理2.1设F满足(A)和下列假设:(F1)lim|x|→∞F(t,x)/|x|2=+∞，对几乎处处的t∈[0，T]一致成立; (F2)lim|x|→0F(t,x)/|x|2=0，对几乎处处的t∈[0，T]一致成立; (F3)存在λ＞2，d1＞0，使得lim sup|x|→∞F(t,x)/|x|λ≤d1，对几乎处处的t∈[0，T]一致成立; (F4)存在β＞λ-1，d2＞0，使得lim inf|x|→∞(▽F(t,x),x)-2F(t,x)/|x|β≥d2,对几乎处处的t∈[0，T]一致成立; (F5) F(t,x)≥0，（t,x）∈R×RN. 若0是d4/dt4-d/dt(B(t)d/dt）+ A(t)带有周期边值条件的特征值，那么问题(2.1)至少有一个非平凡的T-周期解. 定理2.2设对几乎处处的t∈[0，T]，F(t，·)是偶函数，即F(t，-x)=F(t,x),x∈RN,a.e.t∈[0，T]，并且满足定理2.1的所有条件，那么问题(2.1)有无穷多个T-周期解. 对于四阶周期边值问题:{ u(4)-2u"+u=f(t，u)，t∈[0，T]，(3.1)u(i)(0)=u(i)(T),i=0,1,2,3,其中f:[0，T]×R→R连续.首先，对f做如下假设: (f1)存在C0＞0，使得|f(t，x)|≤C0(|x|+|x|p-1)，(t，x)∈[0，T]×R，其中p＞2; (f2) f(t，x)=o(x)，x→0，对t∈[0，T]一致成立; (f3)存在α＞2，使得αF(t，x)≤xf(t，x)，（t，x）∈[0，T]×R，其中F(t，x)=∫x0f(t，y)dy; (f4)存在R＞0，使得inf t∈[0,T]，|x|＞RF(t，x)＞0; (f5)任给t∈[0，T]，f(t,x)/|x|关于x严格递增. 得到下面的定理: 定理3.1若(f1)-(f5)满足，则问题(3.1)在C4[0,T]中有一基态.