本文主要讨论了半退化型离散哈密顿系统和Dirac型离散哈密顿系统(定义见第一章)的亏指数问题, 给出了它们为极限点型, 强极限点型和非极限圆型的判别准则. 同时还得到了一个关于半退化型离散哈密顿系统的特征值存在及个数问题的判定定理. 本文共分三部分. 第一部分是第一章, 主要介绍了离散哈密顿系统的基本理论及性质, 给出了半退化型系统和Dirac型系统的定义. 同时还介绍了离散哈密顿系统所对应的形式差分算子, 分别给出最大算子, 最小算子及自伴算子的定义和奇异离散哈密顿系统的分类, 如极限点型, 中间型, 极限圆型. 第二部分是第二章和第三章. 第二章利用Shi[35]给出的离散哈密顿系统为极限点型的充分必要条件及系统为强极限点型的充分必要条件(即第二章中引理2.1.1), 得到了半退化型离散哈密顿系统为强极限点型的两个充分条件.同时也得到了Dirac型离散哈密顿系统为极限点型的判别准则. 第三章给出了这两类离散哈密顿系统为非极限圆型的判定定理. 其中有些结果是对Everitt[14], Hinton and Show[23] and Krall[25-27]等结果在离散哈密顿系统中的推广. 第三部分是第四章, 利用Shi[35]给出的离散哈密顿系统的Titchmarsh-Weyl的函数的性质及经典的自伴算子的谱理论(见[36, 38]), 得到了一个在最小算子(定义见第一章)下界的下方, 特征值存在及个数问题的判定定理, 是对[40]连续模型的相应结果在离散情形下的推广.