本文主要包括两方面的工作.　　1.“热点”猜想.“热点”猜想是由J.Rauch于1974年提出的，其研究区域是欧式空间中的区域.2012年，利用谱提取算法，阮火军在Sierpinski垫片上证明了“热点”猜想成立.本文继续这方面的工作，在一些p.c.f.自相似集上考察“热点”猜想，证明了“热点”猜想在高维的Sierpinski垫片上成立，但是在六角垫片上不成立.从而得出，对于一般的p.c.f.自相似集“热点”猜想不成立.　　2.分形插值函数.首先对于定义在p.c.f自相似集上的分形插值函数，本文刻划了它们能量有限的充要条件.接着对于Sierpinski垫片(SG)上具有一致纵向尺度的分形插值函数，本文讨论了它们的Laplacian算子.作为应用，证明了以下Dirichlet问题的解为一致纵向尺度因子为1/5的分形插值函数:{u（qi）=qi,i=1，2，3，Δu（x)=η，x∈SG{q1，q2，q3}其中q1，q2，q3为SG的边界点，a1，a2，a3,η∈R.最后对于SG上一类具有相同纵向尺度因子的分形插值函数，研究了它们的最值问题，得出它们与基本函数具有相同取值范围的充分必要条件.