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本文我们主要研究加法补集和完备序列问题,得到下列主要结果: 1.对于无穷正整数集合A,B,如果它们的和A+B={a+b:a∈A,b∈B}包含所有充分大的整数,则称A,B为加法补集.设A(x)和B(x)分别是集合A和B中不大于x的元素个数.2011年,Chen和Fang证明了:对于加法补集A={∑εia2i,εt=0,1,…,a-1},B={∑εj a2j-1,εj=0,1,…,a-1},有lim supx→∞ A(x)B(x)/x=2a+2/a+2成立,且当x=a2k-1时,A(x)B(x)-x≡1. 本文推广了上述结果,证明了以下结论(数学进展,45(2016),533-536): (i)对于上述加法补集A,B,当a=2时,找出了满足A(x)B(x)-x=1的所有正整数x. (ii)对任意正整数a,b,其中2≤a≤b,存在加法补集A,B,使得limsupx→∞ A(x)B(x)/x=2(ab-1)/ab+a-2,且存在无穷多个正整数x满足A(x)B(x)-x=1. 2.对于一个非负整数序列A,设P(A)是能表示成A中不同项的和的整数组成的集合.如果P(A)包含所有充分大的整数,则我们称该序列A是完备的. 对于正整数序列S={s1,s2,…}和正实数α,令Sα表示序列{[αs1],[αs2],…},其中[x]表示不超过x的最大整数.设US={α|Sα是完备的}.1995年,Hegyvári证明了:设正整数序列S={s1,s2,…}满足lim n→∞(sn+1-sn)=+∞,且对充分大的整数n,Sn+1<γSn,其中1<γ<2是常数.若US≠(φ),则μ(US)>0,其中μ(UA)是US的勒贝格测度.2013年,Chen和Fang证明了:若对充分大的整数n,sn+1<γsn,其中1<γ≤7/4是常数,则μ(US)>0.本文证明了(Acta Math.Hungar.,148(2016),211-221):当1<γ≤4√13=1.898…时,结论仍然成立.