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丢番图方程(组)经常以系数为有理整数的多项式的形式出现,一般要求它的解为有理整数.这类方程(组)的研究历史源远流长,就数学而言,具有强大的挑战性,其形式和方法的丰富多采,从而吸引了大量的关注.本文将关心三个问题:广义Ramanujan-Nagell方程,联立的二次丢番图方程组以及四次Thue方程.本文的主要结果如下所示:
1.基于经典Legendre定理的一个推广结论,方程Ax2+By2=CKn的解类的刻画,以及关于Lehmer序列本原素因子存在性的理论,本文研究了一类含参数的广义Ramanujan—Nagell方程(a-1)x2+D=4an的满足2 |n的正整数解(x,n)的个数,这里要求a是大于等于2的偶数,且D为整数,且限制在一定的范围内.本文能够精确地给出那些方程的解.
2.本文受到袁平之在方程组x2-4m(m+1)y2=y2-bz2=1中使用的方法启发,研究了形如ax2-cy2=δ,y2-bz2=1的方程组的解数,这里要求a,b,c以及δ均为正整数.我们证明当(a,c,δ)取值(m+1,m,1),(m+4,m,4),(m+2,m,2),(1,(4m2-1),1),(1,m(m+4),4),(m,m+1,-1),(m,m+2,-2),或者(m,m+4,-4)时,该方程组的正整数解的个数不超过1.
3.本文沿着Dujella的方法,并通过应用经典Legendre定理的一个推广结论扩展这种方法的使用范围,讨论了一类含参数的四次Thue方程x4-4cx3y+(6c+2)x2y2+4cxy3+y4=96c+169(c>0)的本原正整数解(x,y)的个数.我们证明当c≠0,2时,方程的本原解:(x,y)=(3,2),当c=0时,方程的本原解是: (x,y)=(2,3),(3,2),当c=2时,方程的本原解是: (x,y)=(2yn+1/2xn,1/2√5yn),这里xn=(8+3λ√5)(9+4√5)n+(8-3λ√5)(9—4√5)n,yn=(8+3λ√5)(9+4√5)n-(8—3λ√5)(9—4√5)n,或者Xn=(λ+2√5)(9+4√5)n+(-λ+2√5)(9-4√5)n,yn=(λ+2√5)(9+4√5)n-(-λ+2√5)(9—4√5)n,且λ∈{1,-1},n∈N,当λ=1时,n≥0,当λ=-1时,n≥1.