丢番图方程(组)经常以系数为有理整数的多项式的形式出现，一般要求它的解为有理整数．这类方程(组)的研究历史源远流长，就数学而言，具有强大的挑战性，其形式和方法的丰富多采，从而吸引了大量的关注．本文将关心三个问题：广义Ramanujan-Nagell方程，联立的二次丢番图方程组以及四次Thue方程．本文的主要结果如下所示： 1.基于经典Legendre定理的一个推广结论，方程Ax2+By2=CKn的解类的刻画，以及关于Lehmer序列本原素因子存在性的理论，本文研究了一类含参数的广义Ramanujan—Nagell方程(a-1)x2+D=4an的满足2 |n的正整数解(x，n)的个数，这里要求a是大于等于2的偶数，且D为整数，且限制在一定的范围内．本文能够精确地给出那些方程的解． 2.本文受到袁平之在方程组x2-4m(m+1)y2=y2-bz2=1中使用的方法启发，研究了形如ax2-cy2=δ，y2-bz2=1的方程组的解数，这里要求a，b,c以及δ均为正整数．我们证明当(a，c，δ)取值(m+1，m，1)，(m+4，m，4)，(m+2，m，2)，(1，(4m2-1)，1)，(1，m(m+4)，4)，(m，m+1，-1)，(m，m+2，-2)，或者(m，m+4，-4)时，该方程组的正整数解的个数不超过1. 3.本文沿着Dujella的方法，并通过应用经典Legendre定理的一个推广结论扩展这种方法的使用范围，讨论了一类含参数的四次Thue方程x4-4cx3y+(6c+2)x2y2+4cxy3+y4=96c+169(c>0)的本原正整数解(x，y)的个数．我们证明当c≠0，2时，方程的本原解：(x，y)=(3，2)，当c=0时，方程的本原解是: (x，y)=(2，3)，(3，2)，当c=2时，方程的本原解是: (x，y)=(2yn+1/2xn，1/2√5yn)，这里xn=(8+3λ√5)(9+4√5)n+(8-3λ√5)(9—4√5)n，yn=(8+3λ√5)(9+4√5)n-(8—3λ√5)(9—4√5)n，或者Xn=(λ+2√5)(9+4√5)n+(-λ+2√5)(9-4√5)n，yn=(λ+2√5)(9+4√5)n-(-λ+2√5)(9—4√5)n，且λ∈{1，-1}，n∈N，当λ=1时，n≥0，当λ=-1时，n≥1.