近年来,许多学者应用各种变分方法得到了Kirchhoff方程解的各种结论,但是由于非局部项的存在,尚无将上下解方法和变分方法相结合来讨论解的存在性的结果.本文首先考虑了带有变号非线性项的Kirchhoff方程,通过建立一种新的上下解方法来讨论Kirchhoff方程解的存在性问题.其次我们讨论了带有非齐次项的Kirchhoff方程,由于存在依赖于x的a（x）和b（x）,关于此类问题的解的存在性结果很少.我们通过上下解方法与不动点指数理论,得到了多解和变号解的存在性.第一章,我们考虑如下边值问题其中Ω是Rn中的有界区域,a,b>0.首先,我们给出了该问题上下解的一些新定义,建立了上下解的方法,并给出了定义严格上下解时的拓扑度公式.接下来,我们讨论与Kirchhoff型方程相对应的函数的负梯度流.最后,使用之前获得的定理,对于某些类型的Kirchhoff型椭圆问题,我们得到至少三个解,一个正解,一个负解以及一个变号解.在第二章,我们利用上下解方法和不动点指数理论,继续考虑如下变系数的边值问题其中Ω（?）RN（N≥1）为有界规则区域,a,b∈Cγ（Ω）（γ∈（0,1））,并且a（x）>0,b（x）>0.首先,我们构造了一个新问题,并证明了上下解的存在定理.然后,我们将通过应用之前得到的定理讨论原问题的正解和负解的存在.最后,基于不动点方法,我们得到变号解的存在。