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混沌科学是一门交叉学科,它作为非线性科学研究的中心内容之一,已经渗透到数学、物理学、化学、生物学、生理学、心理学、电子学、信息科学、社会科学等各个学科,并且在力学工程、化学工程、生物工程、医学工程、电子工程、信息工程等各个领域都有广泛的应用.混沌的研究已经有很长的历史.1903年,法国数学家和物理学家H.Poincare在研究三体问题时发现了混沌,成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一位学者.1954年,苏联数学家A.N.Kohnogorov在探索概率起源过程中发现了Hamilton函数中微小变化时条件周期的保持.1963年,他的学生V.I.Arnold对此做了严格的数学证明.差不多同时,瑞士数学家J.Morser对此给出了一个改进的证明.以这三位数学家名字的首位字母命名的KAM定理是一个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统所取得的最成功的结果,具有极为重要的理论价值.1963年,美国气象学家Lorenz在研究大气时发现了确定性的非周期流:一个确定系统在某些条件可出现非周期的无规则行为,即轨道对初始条件的敏感依赖性,也就是有趣的“蝴蝶效应”.而这也被认为是混沌的本质.Lorenz发表的论文《确定性非周期流》[1]以及后来陆续发表的三篇文章成为混沌研究的重大突破.1975年,美籍华裔数学家李天岩和美国数学家J.Yorke在研究一维连续映射导出的离散动力系统时,得到了一个著名的结果:“周期3蕴含混沌”,并且首次将混沌的概念引入科学界[2].此后“混沌”作为一个新的科学名词正式出现在科学文献中.随着对不同问题研究的需要,出现了几个不同的混沌定义.目前,常用的混沌定义有三种:Li-Yorke意义下混沌[2],Devaney意义下混沌[3]和Wiggins意义下混沌[4].对于自治离散系统混沌判定的研究,目前已经有很多丰富的结果.对由连续区间映射导出的一维离散系统,有著名的“周期3蕴含混沌”[2];非2次幂周期、紊乱和正的拓扑熵蕴含Devaney和Li-Yorke意义下混沌[5].对于高维离散系统,有F.R.Marotto在R~n空间上建立的返回扩张不动点定理[6],史玉明和陈关荣对Marotto结果的改进和条件的减弱[7],以及林伟和陈关荣建立的异宿扩张不动点定理[8].对于无穷维离散系统而言,有史玉明,陈关荣和郁培等在一般的Banach空间和完备度量空间上建立的返回扩张不动点理论和耦合扩张理论[7,9-14],以及李宗成,史玉明,张超在完备度量空间上建立的连接扩张不动点异宿环定理[15].在现实世界中,很多数学模型是时变系统,但为了研究方便,往往将其用自治系统代替.时变离散系统与自治离散系统本质的不同在于它是有一族映射导出,它的动力学行为比自治系统的要复杂得多.例如,有限维线性自治离散系统不可能是混沌的,但有限维线性时变离散系统可能在Li-Yorke意义下混沌[16,例2.1,例2.2].因而,对时变离散系统混沌的研究难度也更大。目前,有关时变离散系统混沌的研究很少.据我们所知,与此问题研究相关的只有文献[16,17],其中文献[17]研究了度量空间中有相同定义域的映射族在迭代和逐次两种方式导出的系统的混沌情况,得出迭代方式导出的系统混沌不能蕴含逐次方式导出的系统混沌,反之亦然;文献[16]将自治离散系统混沌的概念推广到时变离散系统,给出了有限维线性时变离散系统在Li-Yorke意义下混沌的判定定理和一般时变离散系统在强Li-Yorke意义下混沌的判定定理.据我们所知,对于周期离散系统—一类特殊的时变离散系统,目前有关它的混沌研究结果很少.文献[18]举例说明了两个混沌映射的复合不一定是混沌的.事实上,这两个混沌映射导出的是一个2-周期离散系统.本文在文献[16]工作的基础上,研究周期离散系统的混沌判定及其微扰问题.本文分为两章,第一章给出了一些基本结论,为第二章建立周期离散系统的混沌判定和研究微扰问题做一些必要的准备工作.主要内容如下:第一章主要讨论周期离散系统与其诱导出的自治离散系统混沌动力学行为之间的关系,得到了自治离散系统是Devaney(Wiggins)和(强)Li-Yorke意义下混沌分别蕴含原周期离散系统是Devaney(Wiggins)和(强)Li-Yorke意义下混沌;在某些条件下,周期离散系统是Devaney(Wiggins)和(强)Li-Yorke意义下混沌蕴含其诱导的自治离散系统是Devaney(Wiggins)和(强)Li-Yorke意义下混沌.最后,我们证明了有限维线性周期离散系统不可能在Li-Yorke意义下混沌.第二章主要考虑周期离散系统的混沌判定及其微扰问题.在自治离散系统耦合扩张理论的基础上,利用文献[16]的相关结果和第一章的结论得到了具有耦合扩张性的周期离散系统在Li-Yorke意义下混沌,和在Devaney和强Li-Yorke意义下混沌的两个判定定理.另外,我们还讨论了欧氏空间中混沌的周期离散系统经过周期微扰后的混沌动力学行为的不变性.