本文深入研究揭示gamma函数、psi函数和完全椭圆积分等特殊函数的分析性质,建立了一些精确的不等式,改进了关于这些函数的一些已知结果。众所周知,Guass超几何函数、完全(广义)椭圆积分在几何函数论、拟共形理论等领域发挥着重要的作用。而研究Guass超几何函数的性质,又离不开对gamma函数Γ(x)、psi函数ψ(x)的性质的研究。因此,研究gamma函数、psi函数和完全椭圆积分的性质具有重要的理论意义和应用价值。本文分为三章:在第一章中,主要介绍了本文的研究背景,并引入一些相关的概念、记号和部分相关的已知结果。在第二章中,首先我们运用psi函数的性质,给出了猜测“函数x →[logΓ(x +1)]/(x log x)在(1,∞)上向上凸”的一个简单证明。然后,研究揭示了ψ(n)(x)与一些初等函数的组合的单调性,并得到了函数项级数∑k=1∞(nk-x(x+k)-n-2的一些上下界。在第三章中,我们获得了关于第一类完全椭圆积分之商κ(r)/κ(√r)的一些单调性结果,建立了κ(r)/κ(√r)的一个双向不等式,实质性地改进了 H.Alzer和K.Richards最近给出的一个结果。同时,我们将函数r→4√1+rκ(r)/κ(√r)的单调性推广到广义椭圆积分。