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为解决距离正则图的分类问题，T.Ito，K.Tanabe和PTerwilliger提出了三对角对的概念，它是Leonard对的推广.T.Ito，K.Tanabe和P.Terwilliger等数学家在研究三对角对的过程中又相继提出了诸如反向对，海森伯格对，循环Leonard对和Leonard三元组等相关的概念，并对它们进行了深入研究.这些理论对距离正则图的分类有重要作用，且与李代数，量子群的表示理论有密切联系.E.RvanDam，J.HKoolen和H.Tanaka在其综述文章“距离正则图”中称该理论为Terwilliger代数的表示理论.
本文主要讨论了带尖的三对角对系统的本原幂等元的一些乘积的迹，(1，2，1)型q-反向对的分类以及Krawtchouk型Leonard三元组的构作等问题.全文由五章组成，主要内容如下:
第一章，介绍了Terwilliger代数表示理论的发展历史和研究现状，列出了本文解决的问题和得到的主要结果.
第二章，利用带尖的三对角对系统的参数阵列，给出了迹的表达式.解决了K.Nomura和P.Terwilliger提出的带尖的三对角对系统中关于本原幂等元的一些乘积的迹的问题.
第三章，首先给出了(1，2，1)型q-反向对K，K*的参数对，利用参数对完成了(1，2，1)型q-反向对的分类.
第四章，由给定的Krawtchouk型Leonard对A,A*，构作了Krawtchouk型Leonard三元组A，A*，Aε.
第五章，列出了需进一步研究的问题.