有限单元法是数值分析中的重要方法.建立协调单元最常用的方法是等参变换.Serendipity等参元族由于插值结点分布在单元的边界上,因而在实际应用中较为广泛.Serendipity等参元在矩形或平行四边形网格中,有良好的精度.但在任意的四边形网格中,由于等参变换不是线性变换,所以当网格不规则畸变时,精度会明显下降.改进Serendipity等参元的网格畸变敏感性以提高有限元计算精度一直是学术界关心和感兴趣的问题.样条是满足一定连续条件的分片的多项式,从数学上看,有限元单元形状函数可以看做是样条函数.在前人的工作基础上,本文利用多元样条方法,基于三角形面积坐标和B网方法构造单元插值基函数,获得了一类新的四边形单元族,具有高精度和计算简便的优点,克服了Serendipity等参单元对网格畸变的敏感性,并在一些数值算例中得到了较好的结果.进一步,把这种构造单元的方法推广到了多边形单元,三维单元和薄板单元,获得了一系列的结果.本文的主要内容包括：1.在第三章中,讨论平面四边形样条单元族的构造.对凸四边形单元,通过连接其两条对角线,将四边形单元进行三角形细分.在每个小三角形上采用三角形面积坐标和多项式的B网表示方法,再利用三角形单元间的光滑连接,消去内部自由度,得出四边形样条单元.由此构造一类满足协调性的高精度样条单元,包括4,12,17结点的3个单元,与已有的8结点样条单元形成一个具有完备阶的单元族,它们在直角坐标系中分别具有1-4阶完备性,并适用于非凸四边形单元.与传统的Serendipity等参元族相比,本文所提出的单元有高阶完备性,克服网格畸变敏感性和计算简便的优点,无论在规则还是不规则网格下都能保持良好的计算精度.2.在第四章中,将构造四边形样条单元的方法推广到构造任意多边形样条单元.在多边形内选取重心,将重心与多边形的各角点相连接得到多边形单元的三角剖分,利用三角形单元间的光滑连接条件,消去内部自由度,得出多边形样条单元.此单元在直角坐标系中具有2阶完备性,并适用于非凸的多边形网格.数值计算结果显示了这个多边形样条单元具有计算简便,精度高的优点,对不可压缩问题也可以得到很好的结果.3.在第五章中,介绍并测试了已有的两种三维样条单元,21结点六面体单元和13结点金字塔单元.这两种单元是按照类似平面单元的构造方法,通过将三维单元细分为四面体单元,进而采用四面体体积坐标和三维B网方法构造相应的样条插值基函数.数值计算结果显示了这两个单元列式简单,计算简便,精度较高,抗网络畸变的能力好,对不可压缩问题也可以得到很好的结果,是两种非常实用单元.4.在第六章中,讨论样条薄板单元的构造.在薄板弯曲问题中,DKQ单元是一种常用单元,它是基于离散Kirchhoff理论和平面8结点Serendipity等参元Q8构造的.由于Q8单元当网格畸变时,只有1阶完备性,故而由其建立的DKQ单元的抗畸变能力不够高.在本文中,我们利用已得到有2阶完备性的8结点样条单元代替Q8等参元,并结合精化不协调元方法,改进单元的应变项,构造精化的薄板弯曲样条单元RDKQS.通过数值算例表明这种单元精度较高,并对网格畸变不敏感.