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本硕士论文分三部分:
第一部分:介绍常循环码和环Zp2上循环码的研究成果以及本文的主要工作。
第二部分:首先,给出有限域Fq上λ-常循环码的迹表达式,然后,给出不可约Negacylic码的迹表达式及参数和重量分布,最后,给出具体的例子,证明了循环码的迹表达式对确定循环码的重量分布和了解循环码的结构都有重要的意义。
定理2.3.1:若C是以g(x)∈Fq[x]为生成多项式,以h(x)=(xn-λ)=(xn-λ)/g(x)为校验多项式的长为n的q元λ-常循环码,令｜λ｜=m,xmn-1=(xn-λ)h1(x)=g(x)h(x)h1(x),且h(x)h1(x)=P1(x)p2(x)…Ps(x),P1(x),P2(x)…Ps(x)是Fq[x]中彼此不同的首一不可约多项式,degpi(x)=di(1≤i≤s),在Fq的扩域中取多项式Pi(x)的一个零点αi,则任意码字c=(c0,c1,…cn-1)∈C均存在βi∈Fqdi(1≤i≤s)使得cλ=s∑i=1Ti(βiαi-λ)(0≤λ≤n-1),其中,Ti是Fqdi对于Fq的迹映射。
定理2.3.4:若C是以k次首一不可约多项式h(x)∈Fq[x]为校验多项式的不可约Negacylic码,则任意码字c=(c0,c1,…cn-1)∈C均存在β∈Fqk使得:
cλ=T(βα-λ)(0≤λ≤n-1)其中α是h(x)的一个零点,T是Fqk对于Fq的迹映射。
定理2.3.5:若C是以k次首一不可约多项式h(x)∈Fq[x]为校验多项式的q元不可
约Negacylic码,则C是参数为[qk-1/2,k,qk-1(q-1)/2]的等重码。
第三部分:在第二部分的基础上进一步给出剩余类环Zp2上循环码的迹表达式。
定理3.3.1:若p是素数,q=p2,h(x)是Zq上本原基础不可约多项式,C是Zq上长为n的循环码,xpm-1=g(x)h(x),则:
C=＜g(x)＞={(Tr(c),Tr(cξ-1),…,Tr(cξ-(n-1)))｜c∈GR(qm)｝其中ξ是校验多项式h(x)在Galois环GR(qm)上的一个根,Tr是GR(qm)对Zq的迹映射。