常微分方程解的振动性是微分方程解的重要性态之一。微分方程的振动理论的应用背景极其广泛，随着自然科学和生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了微分方程是否有振动解存在或者方程的一切解是否均为振动解的问题。众所周知，由G．Sturm建立的二阶齐次线性微分方程解的零点分布的比较理论和分离理论，为微分方程振动理论的研究奠定了基础．一个半世纪以来，微分方程的振动理论已经有了很大的发展，在微分方程定性理论及边值问题研究中占有很重要的地位．特别是近几十年，常微分方程解的振动性研究发展得相当迅速，其中以二阶微分方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足的发展。 本文讨论了较一般的二阶非线性摄动微分方程（a（t）（）（x（t））x（t））+Q（t，x（t））=P（t，x（t），x（t））（E）的振动性与渐近性，建立了方程（E）的4个新的振动性定理和3个渐近性定理。阐述了关于微分方程振动性的几个基本概念，介绍了微分方程振动性问题研究的背景、该领域的研究现状、各阶段研究问题的思想方法和主要结论，对参考文献进行了简要综述，说明了本文的主要工作。给出对方程（E）中函数a，（），P，Q的约定，为了便于分类讨论，对方程（E）的所有正则解分为S+，S—，So，Swo四类；在方程（E）不具有“积分小”系数的条件下，构造函数W（t）=a（t）（）（x（t））x（t）/f（x（t）），t≥t1，利用广义Riccati—变换，结合完全平方技术和分类讨论的方法，建立了方程（E）的2个新的振动性定理，推广和改进了已知的一些结果：最后应用新建立的振动性定理判定4个方程的振动性，而已知文献中的结果不能判定这几个方程的振动性。在方程（E）具有“积分小”系数的条件下，构造函数W（t）=—a（t）（）（x（t））x（t）/f（x（t））∫tt11/a（s）ds，t≥t1，利用广义Riccati—变换和函数平均技巧，结合完全平方技术和分类讨论的方法，建立了方程（E）的2个新的振动性定理，推广和改进了已知的一些结果；最后应用新建立的振动性定理判定2个方程的振动性，已知文献中的结果不能判定这两个方程的振动性。讨论了方程（E）非振动解的渐近性。构造函数W（t）=p（t）a（t）（）（x（t））x（t）/f（x（t）），t≥t1，建立了方程（E）的任意非振动解属于下列两种类型之一：Ac：x（t）→C≠0，t→∞，A0：x（t）→0，t→∞．的充分条件，方程（E）有Ac型非振动解x（t）的必要条件以及有A0型非振动解x（t）的必要条件，得到方程（E）的3个新的渐近性定理。