【摘 要】
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众所周知,线性微分算子的特征值和特征函数是算子理论的核心之一,也是研究相应非线性问题的基础.本文主要研究全空间上带变号权函数的分数阶Laplacian算子的谱理论,作为该理
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众所周知,线性微分算子的特征值和特征函数是算子理论的核心之一,也是研究相应非线性问题的基础.本文主要研究全空间上带变号权函数的分数阶Laplacian算子的谱理论,作为该理论的应用,之后又考虑了相应的分歧问题.本文具体内容如下:首先介绍了经典Laplacian算子和分数阶Laplacian算子谱理论的研究现状,本文主要工作,分数阶Laplacian算子的定义,分数阶Sobolev空间及其相关性质.其次利用变分法,算子理论以及正则性理论分别研究了当变号权函数有界和无界时的分数阶Laplacian算子特征值问题(-△)su = λgu,x ∈RN的特征值和特征函数,其中s ∈(0,1),N>2.s.当 g满足适当条件时,得到上述问题存在一列实特征值,特别地,主特征值λ1是简单的,孤立的.这些谱理论的结果部分地推广了 Allegretto[Proc.Amer.Math.Soc.,1992],Brown 等人[Proc.Amer.Math.Soc.,1990,Proc.Royal Soc.Edinburgh,1993],Szulkin 等人[Studia Mathematica,1999]以及Servadei 等人[Disc.Cont.Dyna.Syst.,2013]的主要结果.最后考虑了相应的分歧问题,假设f,g 满足一定的条件,利用度理论和Rabinowitz全局分歧定理得到(λ1,0)是问题(-△)su = λgu + f(x,λ,u),x ∈RN的分歧点,其中λ1是问题(—△)su=λgu,x∈ RN 的主特征值.此结果是Drabek等人[Trans.Amer.Math.Soc.,1997]主要结果的部分推广.
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