近年来，分数阶微分方程已被广泛地研究并应用于物理、力学、生物、医药等众多学科和领域中并取得了较大成果。综观其发展过程，它不仅显示出深厚的研究背景和良好的应用基础，而且具有广阔的发展空间。因而，对分数阶微分方程的基本理论，基本性质以及求解方法的研究就显得尤为重要，它为其进一步的应用奠定坚实的基础。本文主要做了以下工作：一．阐述了分数阶微积分理论中最基本的也是最重要的两种定义：Riemann-Liouville分数阶微积分以及Caputo意义下的分数阶微分。讨论了它们之间的关系以及基本运算性质，并通过积分变换给出了Caputo意义下分数阶线性微分方程解的存在唯一性。二．证明了利用Adomian分解方法求解Caputo意义下的分数阶线性微分方程的收敛性。并将其成功用于求解Bagley-Torvik方程以及半空间上的分数阶微分方程边值问题：三．在分形介质中建立了Caputo意义下的含有外力和吸附效应的时间分数阶非线性对流—扩散方程在满足初始条件c(x，0)=(?)(x)下利用Adomian分解方法得到了它的级数形式的解。