【摘 要】
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20世纪数学史上的一个重大奇迹就是发现了一系列非线性波方程的可积性.非平凡解的精确表达式便是这种优美的可积性的反映.因此,求解非线性波方程便是可积系统领域的重要研究课题.这也吸引了大批的学者参与这方面的研究,大量的求解非线性波方程的方法也就随之出现.这不仅使非线性波方程的应用获得了重大发展,也极大地丰富可积系统的理论.这些重要的方法主要有:反散射方法,贝克隆变换方法,达布变换方法,双线性方法,代数
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20世纪数学史上的一个重大奇迹就是发现了一系列非线性波方程的可积性.非平凡解的精确表达式便是这种优美的可积性的反映.因此,求解非线性波方程便是可积系统领域的重要研究课题.这也吸引了大批的学者参与这方面的研究,大量的求解非线性波方程的方法也就随之出现.这不仅使非线性波方程的应用获得了重大发展,也极大地丰富可积系统的理论.这些重要的方法主要有:反散射方法,贝克隆变换方法,达布变换方法,双线性方法,代数几何方法等等.本文主要利用代数曲线理论及代数几何的相关知识,构造了四族有重要物理背景的孤子方程的拟周期解.文中具体探讨的方程族分别是与2×2矩阵谱问题相联系Konno-Oono方程,混合AB方程,完全的局域sine-Gordon方程族和推广的Jaulent-Miodek方程族.首先,通过引入Lenard递推序列和零曲率方程,构造与2×2矩阵谱问题相联系的孤子方程族.利用Lax矩阵的特征多项式定义一条亏格为??的超椭圆曲线????.在此代数曲线上引入合适的亚纯函数,Baker-Akhiezer函数和椭圆变量,从而将将孤子方程分解为可解的常微分方程组.然后,在Abel-Jacobi坐标下流被拉直.进一步,根据亚纯函数及Baker-Akhiezer函数零点和极点的性质,利用第二类和第三类Abel微分,Riemann定理及Riemann-Roch定理得到了它们的Riemann theta函数表示.最后,结合亚纯函数及Baker-Akhiezer函数的Riemann theta函数表示和它们的渐近性质,便给出了孤子方程族的拟周期解.
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