【摘 要】
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在近几年的计算数学的研究中,对于矩阵方程的反问题的探讨和特殊化分析日益增多,在静力学、大数据处理、机器学习、系统识别、振动理论等领域应用广泛。本课题将系统研究广义反中心对称矩阵反问题的最小二乘解及其推广问题。在以往对矩阵方程反问题的研究中,对广义反中心对称矩阵的关注比较少,对于推广形式A1X1+A2X2+...+AlXl=Z的讨论一般也缺少一般化的证明细节,本文以此为出发点进行深入研究。由于低维的
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在近几年的计算数学的研究中,对于矩阵方程的反问题的探讨和特殊化分析日益增多,在静力学、大数据处理、机器学习、系统识别、振动理论等领域应用广泛。本课题将系统研究广义反中心对称矩阵反问题的最小二乘解及其推广问题。在以往对矩阵方程反问题的研究中,对广义反中心对称矩阵的关注比较少,对于推广形式A1X1+A2X2++AlXl=Z的讨论一般也缺少一般化的证明细节,本文以此为出发点进行深入研究。由于低维的系数矩阵与高维情况保持形式一致,因此本文从二元矩阵方程的研究开始,具体是矩阵方程AX+BY=Z中通过给出X,Y,Z并且约束A,B的矩阵性质从而求出矩阵A和B当方程AX+BY=Z问题有解的充分必要条件以及满足矩阵方程的解集合,在此基础上,进而求出解集合中的最佳逼近解。通过AX+BY=Z的研究过程和核心引理从而完成对A1X1+A2X2++AlXl=Z的解集合和最佳逼近解的求解。在研究中首先需要求矩阵方程AX+BY=Z反问题广义反中心对称约束下的解A,B。使用的方法是利用广义反中心对称矩阵的性质进行矩阵的分解得到反中心对称变换矩阵,通过反中心对称变换矩阵的谱分解技术简化原始矩阵方程,求出矩阵A,B当方程AX+BY=Z问题有解的充分必要条件以及满足矩阵方程的解集合。然后在此基础上利用Frobenius范数的计算方法和矩阵的最小二乘解法求出最佳逼近解并给出支撑的数值算例。利用对AX+BY=Z反问题广义反中心对称约束下的解的全面分析的结论进而研究矩阵方程A1X1+A2X2++AlXl=Z反问题广义反中心对称约束下的解Ai（i=1,l）。使用的方法是利用广义反中心对称矩阵的性质进行矩阵的分解得到反中心对称变换矩阵,通过反中心对称变换矩阵的谱分解技术简化原始矩阵方程,求出矩阵Ai（i=1,l）当方程A1X1+A2X2++AlXl=Z问题有解的充分必要条件以及满足矩阵方程的解集合。然后在此基础上利用Frobenius范数的计算方法和矩阵的最小二乘解法求出最佳逼近解并给出支撑的数值算例。AX+BY=Z矩阵方程及其推广形式是一类与实际应用联系紧密的数学问题,尤其是在大数据储备丰富的后信息化时代,人工智能中的自然语言处理大模型的高速发展引发了对计算数学中的矩阵及方程运算提出了更加特异化的需求,因此AX+BY=Z矩阵方程及其推广形式的解析解和近似解的提出和论证过程具有了更加重要的实际应用价值。
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