随着纳米科学技术的发展,新型二维纳米材料已经广泛应用于纳米设备的设计中,如由石墨烯等材料构成的纳米传感器,其灵敏度在磁场作用下显著提高。为设计和制造适用于磁环境的纳米器件,必须对纳米板类结构在磁场作用下的力学性能和行为进行研究。然而,在研究复杂纳米结构时,现有的实验手段以及分子动力学模拟方法均存在实验成本高、计算量大等限制。此外,传统连续介质力学方法无法描述尺度效应对纳米结构的影响。因此,采用考虑尺度效应的修正连续介质力学方法,从理论角度发展该领域内的解析研究方法和理论,丰富和增进对纳米板类结构的力学行为理解,对于新型纳米设备的开发具有重要科学意义。本论文从磁场作用下纳米板自由振动问题入手,在哈密顿体系框架下,对基于非局部薄板模型的一系列振动问题展开解析研究。求解了磁场作用下包含悬臂、角点支撑等多个复杂边界条件的一类纳米板振动问题的解析解,进而对其振动特性进行了分析。本文工作可为基于上述纳米板类结构的纳米器件设计和分析提供理论支撑。本论文具体研究内容包括:（1）利用非局部薄板理论和哈密顿体系理论,建立磁场作用下纳米板振动问题的哈密顿求解体系,并获得对边简支/滑支组合边界下的解析解。以纳米板的位移与转角作为原变量,利用勒让德变换推导其在哈密顿体系下对偶变量——广义剪力与弯矩。利用哈密顿变分原理,推导磁场作用下纳米板振动问题的哈密顿正则方程,其哈密顿算子矩阵中同时包含了洛伦兹力和非局部理论相关参数。在哈密顿体系下,磁场环境中纳米板的固有频率及其对应振型函数可以由哈密顿算子矩阵的本征值与本征解表示。针对几类对边简支/滑支组合边界条件,求解了纳米板的固有频率和振型函数。（2）四边自由、角点支撑和悬臂纳米板在磁场环境下的振动问题可以通过边界分解方法求解,直接获得对应的解析解。纳米板的四边自由、角点支撑和悬臂边界可以分解为若干简单边界构成的子问题,并且每个子问题的解均可以由已获得的对边简支/滑支边界纳米板的辛本征解表示。通过边界叠加,原复杂边界纳米板振动问题转化为一组包含待定系数的代数方程组,从而直接获得固有频率和振型函数。结果表明,外加磁场可以提高纳米板的固有频率,改变基频对应的振型函数,并提升附着质量纳米板的固有频率偏移量。（3）建立在磁场环境下一类双层纳米板系统振动问题的哈密顿求解体系,并获得多种边界条件下的解析解。在单层纳米板振动问题研究的基础上,通过变形特征分析,将双层纳米板系统的振动问题分解为两类子问题:同相位振动和反相位振动。通过引入调整系数,建立磁场环境下双层纳米板振动问题对应的具有统一形式的哈密顿正则控制方程,将原问题归结为哈密顿体系下的本征问题,从而可以直接获得对边简支/滑支双层纳米板在磁场环境下的解析解。在此基础上,利用边界叠加方法,进一步获得磁场环境下具有复杂边界条件双层纳米板系统振动问题的解析解。研究结果表明,外加磁场同样可以提高双层纳米板系统的固有频率,此时同相位振动和反相位振动固有频率提升的幅度相近。