【摘 要】
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最高阶导数前带有小参数的微分方程或微分系统一直是动力系统研究的热点,并逐渐发展成为了其一个重要分支.当小参数趋于零甚至取零时,方程阶数的降低导致方程结构及相应的动力学行为发生本质的变化,这就产生了一个奇摄动问题,这样的问题还时常表现出多时间或空间尺度的特性.在奇摄动发展初期,大多时候关注点在于边值问题的渐近分析.1970s,N.Fenichel开创性的工作“Geometric Singular P
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最高阶导数前带有小参数的微分方程或微分系统一直是动力系统研究的热点,并逐渐发展成为了其一个重要分支.当小参数趋于零甚至取零时,方程阶数的降低导致方程结构及相应的动力学行为发生本质的变化,这就产生了一个奇摄动问题,这样的问题还时常表现出多时间或空间尺度的特性.在奇摄动发展初期,大多时候关注点在于边值问题的渐近分析.1970s,N.Fenichel开创性的工作“Geometric Singular Perturbation Theory for Ordinary Differential Equations”奠定了几何奇摄动的基础,随后奇摄动理论的研究重心逐渐偏移到几何奇摄动上.但是,Fenichel理论只针对临界流形法向双曲的情形有很好的结果,对于非法向双曲点或流形则失效.在二维空间,一种常见非法向双曲的情形是临界流形的稳定（吸引）流形与不稳定（排斥）流形相交时,这样的交点被称为转点,经典的Van der Pol方程以及更一般的Lienard方程中均会出现这样的非法向双曲点.另一种常见非法向双曲的情形是临界流形自交于转点处,这时候通常在转点附近有多个稳定流形与不稳定流形,这种现象一般被称为稳定交替.在本论文中,就是用blow-up方法来研究稳定交替的现象（这里自然会有一个转点）.对于临界流形法向双曲的部分,由Fenichel理论已经保证了其附近不变流形的存在性.对于非法向双曲点,局部上,将问题标准化,研究标准化后系统的转点附近的动力学行为即可.在将方程标准化的过程中,发现在小参数前自然的产生了另一个参数,于是就自然产生了一个奇摄动分支问题.对于标准化后的分支问题,利用blow-up的方法,研究了其不同参数下系统不同的动力学行为,得到了一些结果.再用一些例子的分析来验证我们结论的正确性.
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