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图G的Laplacian矩阵L(G)是研究图的性质的一个重要工具.人们传统上用L(G)的特征值来研究图论，得到很多很好的结论.近二十年来，人们发现L(G)的Smith标准型和特征值一样，同为图的同构精细不变量，自然也是研究图论的好工具.作者最早接触到的临界群概念，是源自Godsil和Royle的著作GTM207.国际著名数学家Biggs在1999年的时候证明了图的临界群能够被L(G)的Smith标准型所刻划.本文研究了两类Cartesian乘积图Km×Cn和C4×Cn的Laplacian矩阵，得到了它们的Smith标准型，给出了这两类图的临界详细群结构和生成树数目.对于一般化的图，我们给出了其Smith标准型的前三个不变因子的精确上界.
下面的是本篇论文得到的主要结果，其中的参数在正文对应部分都有详细的介绍.
若n=2s+1，则Km×Cn(m，n≥3)的临界群为(公式略)其中γ=hs/(n,gs)(n,hs),ψ=nmhs/(n,hs).
若n=2s，则Km×Cn(m，n≥3)的临界群为(公式略)其中(公式略)
由此得到Km×Cn的支撑树的数目为(公式略)
若n=2s+1，则C4×Cn(n≥3)的临界群为(公式略)
若n=2s且s为奇数，则C4×Cn(n≥3)的临界群为(公式略)
若n=2s且s为偶数，则C4×Cn(n≥3)的临界群为(公式略)
由此得到图C4×Cn的支撑树的数目为(公式略)
从而证明了当n≥3时，有以下三角函数恒等式成立(公式略)
此外，对n≥5阶的简单连通非完全图G，还得到了它的第三位不变因子的定位：s3(G)≤n，并且s3(G)=n当且仅当G=Kn-e，其中e的任意一条边Kn；s3(G)=n-1当且仅当G=v·Kn-1，其中n≥5且G由完全图Kn-1连接一个垂点v所得；s3(G)=n-2当且仅当n=5且G=K5-2e,其由K5删除两条不相邻的边所得，或G=Ks-C4，其由K5删除长为4的圈的边所得；s3(G)=n-3当且仅当G为下述六种图之一：K2，3，K5-C3，K6-C3，K7-2C3，K3，3及K7-K3,3.