【摘 要】
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KdV方程是在物理学、应用数学、力学、大气和海洋科学等多个自然学科中都有着重要应用背景的非线性偏微分方程,对于该方程所描述现象,如孤立波等经典解的存在性和长时间稳定性研究具有重要的理论意义和应用价值,是人们长期关注热点的课题之一.本文主要研究如下一类七阶KdV方程,ut-u7x+bu5x+du3x=（f（u,ux,uxx,u3x,u4x））x;其中,u∈H3（R）,unx=?nu/?xn,F（q,
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KdV方程是在物理学、应用数学、力学、大气和海洋科学等多个自然学科中都有着重要应用背景的非线性偏微分方程,对于该方程所描述现象,如孤立波等经典解的存在性和长时间稳定性研究具有重要的理论意义和应用价值,是人们长期关注热点的课题之一.本文主要研究如下一类七阶KdV方程,ut-u7x+bu5x+du3x=（f（u,ux,uxx,u3x,u4x））x;其中,u∈H3（R）,unx=?nu/?xn,F（q,r,s）∈C3（R）是p+1次齐次函数,（q,r,s）∈R3.我们首先将孤立波解的存在性转化为带约束泛函的极小值存在性,并利用Lions的集中紧致性原理证明无界域H3（R）中孤立波解的存在性,然后将孤立波的变分结构与Grillakis,Shatah和Strauss等人提出的轨道稳定性理论（GSS轨道稳定性理论）相结合,分析孤立波的稳定性.全文主要结构如下:第一章为引言,简要综述孤立波的发展历史,主要研究方法以及取得的成果,KdV方程的研究现状和已有的孤立波稳定性相关成果.第二章为预备知识,简要介绍基本概念和定理,以及变分法原理,集中紧致性原理和GSS轨道稳定性理论等.第三章为主要内容,证明上述问题孤立波解在空间H3（R）中的存在性,在此基础上,将孤立波的变分结构与GSS轨道稳定性理论相结合,证明当纯量函数d（c）严格凸时,孤立波解集的稳定性.
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